→Własności: "znaleźć" jakiś zbiór "za pomocą" lematu Kuratowskiego-Zorna to raczej się nie da. Można najwyżej stwierdzić/postulować istnienie takiego zbioru
→Własności: argumentacja "maksymalny⇒pierwszy" jest trochę miałka, lepiej chyba powołać się na odpowiednie twierdzenie. Wprowadzam symbolikę (a) dla ideałów głównych
* Zbiór dzielników zera danego pierścienia ''A'', w którym istnieją właściwe dzielniki zera, jest [[suma zbiorów|sumą mnogościową]] [[Ideał pierwszy (teoria pierścieni)|ideałów pierwszych]].
:'''Dowód''' (wNiech przypadku,<math>a\in gdyA</math> istniejąbędzie właściwedowolnym dzielnikidzielnikiem zera)właściwym. Zauważamy najpierw, że [[ideał główny]] <math>(a)</math> generowany przez właściwy dzielnik zera<math>a</math> jest zawarty w zbiorze dzielników zera, czyli rodzina ideałów składających się z dzielników zera jest niepusta. W rodzinie tej uporządkowanej relacją [[podzbiór|inkluzji]] istnieje (na podstawie [[lemat Kuratowskiego-Zorna|lematu Kuratowskiego-Zorna]]) [[ideał maksymalny]] <math>\mathcal M</math>, zawierającyktórego ideałelementami głównysą generowany przez dowolny właściwy dzielnikdzielniki zera., Jesti tozawierający [[ideał pierwszy]], bo jeśli by istniały takiegłówny <math>(a, b \in A)</math>,. żePonieważ <math>ab \in \mathcal M</math> ijest <math>aideałem \notmaksymalnym, \injest \mathcal M</math> oraz <math>b \not \in \mathcal M</math>, totakże [[ideał generowanypierwszy|ideałem przezpierwszym]] <math>a,(patrz \mathcal M</math> składałby się z dzielników zera i zawierałby ideał[[Ideał maksymalny#Własności|własności]]). <math>\mathcal M</math>, co jest sprzeczne z maksymalnością <math>\mathcal M</math>.
* Dzielnik zera nie może być [[Element odwracalny|elementem odwracalnym]].
:'''Dowód''': Gdyby dla elementu <math>a</math> istniały elementy <math>b\neq 0</math> i <math>c</math> takie, że <math>a b = 0</math>, <math>a c = c a = 1</math>, to:
