Hipersfera: Różnice pomiędzy wersjami

[[Plik:Sphere wireframe.svg|thumb|220px|Siatka rozpięta na hipersferze dwuwymiarowej w [[Rzut (algebra liniowa)|rzucie ortogonalnym]]]]

[[Plik:Hypersphere.png|thumb|220px|Rzut na płaszczyznę siatki rozpiętej na hipersferze trójwymiarowej]]

 

Dla dowolnej liczby naturalnej ''n'', hipersfera o promieniu ''r'' jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej (n+1) wymiarowej, które znajdują się w odległości ''r'' od wybranego punktu środkowego '''''c''''', gdzie ''r'' jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a '''''c''''' to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni (n+1)-wymiarowej.

 

Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywamy '''hipersferą jednostkową''', oznaczaną Sⁿ. Często terminem ''hipersfera'' określa się właśnie ''hipersferę jednostkową''. Hipersfera n-wymiarowa stanowi brzeg [[kula|kuli]] (n+1)-wymiarowej. Dla ''n'' ≥ 2, hipersfery są [[przestrzeń jednospójna|rozmaitościami jednospójnymi]] o stałej dodatniej krzywiźnie.

 

Zbiór punktów w przestrzeni (n+1)-wymiarowej (''x''₁,''x''₁,''x''₂,…,''x''_''n''+1), który tworzy hipersferę opisuje równanie

 

== Rozmiar ==

=== Objętość wnętrza ===

 

: <math>V_n(R) = C_n R^n \,</math>

: <math>\lim_{n \to \infty}S_n = 0~.</math>

 

{{osobny artykuł|miara Hausdorffa}}

 

}}

 

Analogicznie do [[układ współrzędnych sferycznych|współrzędnych sferycznych]] w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni n-wymiarowej, w których składowymi są promień <math>r\,</math> i (n-1) współrzędnych kątowych <math>\phi _1 , \phi _2 , \dots , \phi _{n-1} \,</math> gdzie <math>\phi_{n-1} \,</math> zawiera się w przedziale <math>[0, 2 \pi) \,</math>, a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale <math>[0, \pi] \,</math>.