Monoid: Różnice pomiędzy wersjami

'''Monoid'''<ref>{{cytuj stronę | url = http://www.jmilne.org | tytuł =Group Theory | data dostępu = 2011-08-23| autor =Milne J. S. | opublikowany =s.31 | pracadata = | datajęzyk = |data językdostępu = 2011-08-23}}</ref> -– [[półgrupa]], której działanie ma [[element neutralny]]. Formalnie, '''monoid''' to [[StrukturaAlgebra algebraicznaogólna|algebra]] <math>(S, e, *)</math>, sygnatury <math> (0, 2)</math>, gdzie ''S'' jest niepustym zbiorem, natomiast

: <math>*\colon S \times S \to S</math>

Szczególny przypadek monoidu stanowi [[grupa (matematyka)|grupa]]. Wynika stąd następujące [[zawieranie zbiorówPodzbiór|zawieranie]]:

: [[Półgrupa|klasa półgrup]] ⊇ klasa monoidów ⊇ [[grupa (matematyka)|klasa grup]].

Każdy monoid M jest [[izomorfizm|izomorficzny]] z półgrupą wszystkich [[endomorfizm]]ów pewnej [[algebra ogólna|algebry]] ''M''. Jest to uogólnienie [[twierdzenie Cayleya|twierdzenia Cayley'aCayleya]].

== Przykłady ==

* [[Liczby naturalne]] (z zerem bądź bez) z działaniem [[mnożenie|mnożenia]]: elementem neutralnym tego monoidu jest 1 (w obu przykładach).

* Każdej półgrupie <math>(S, *)</math> można przyporządkować jej monoid <math>M(S)</math> w następujący sposób<ref>{{cytuj książkę |autor=Gerard Lallement |autor link= |tytuł=Semigroups and Combinatorial Applications (tłum. ros.) |url= |wydawca=Mиp|strony=16|wydanie=1 |rok=1985 |isbn= |url= |język=ru}}</ref>:

:: dla wszystkich <math>x, y \in S</math> zachodzi <math>x \circ y = x * y</math>,

:: dla każdego <math>x \in S</math> spełniona jest równość <math>x \circ 1 = 1 \circ x = x</math>,

:: <math>1 \circ 1 = 1</math>.

* '''Monoid wolny'''<ref>Milne, op. cit., s. 31.</ref>. <math> \left(X^*, \varepsilon, \sim\right)</math> -– zbiór słów nad alfabetem <math>\,X\,</math>, z <math>\varepsilon</math> jako słowem pustym i <math>\,\sim\,</math> jako operacją [[konkatenacja|konkatenacji]]. Jeśli <math>X \,=\, \{0, 1\}</math>, to słowami są na przykład: <math>110111,\,011000,\,000,\, 1111</math>, a przykładami konkatenacji są:

: <math>110111\,\sim\,000\,=\, 110111000</math>,

: <math>\varepsilon\,\sim\,000\,=\,000</math>.

* '''Własność uniwersalności monoidu wolnego'''<ref>Milne, op. cit., s. 32.</ref>. Po utożsamieniu elementów zbioru ''X'' ze słowami jednoelementowymi można uznać ''X'' za podzbiór monoidu wolnego ''X''*

[[GrafikaPlik:Free_monoidFree monoid-uniwersal_propertyuniwersal property 1.svg|200px|right|thumb|200px|Uniwersalność monoidu wolnego]]

: <math>i: a \mapsto a</math>,

: przy czym podzbiór ten generuje ''X''* i odwzorowanie

: <math>i: X \rightarrow X^*</math>

: ma następującą własność uniwersalności: dla dowolnego odwzorowania zbioru ''X'' w monoid ''M''

: <math>\alpha: X \rightarrow M</math>

: istnieje jedyny taki homomorfizm

: <math> \alpha^* : X^* \rightarrow {M}</math>

: dla którego następujący diagram jest [[diagram przemienny|przemienny]].

* Jeśli <math>\,\mathit{M}\, </math> jest monoidem, <math>\,\mathit{A}\,</math> jest półgrupą, a <math>h: \mathit{M} \rightarrow \mathit{A}</math> jest [[homomorfizm]]em na <math>\,\mathit{A}\,</math>, to <math>\,\mathit{A}\,</math> jest monoidem<ref>Скорняков, op. cit., s. 60.</ref>.

#* {{cytuj książkę |nazwisko =Clifford |imię=A. H. | nazwiskonazwisko2 =Clifford Preston |imię2=G. B.| nazwisko2 = Preston |autor link= |tytuł=The algebraic theory of semigroups |url= |wydawca=American Mathematical Society |strony= |wydanie=1 |rok=1964 |isbn= |issn= |url= |data dostępu= |odn=tak}}

#* {{cytuj stronę | url = http://www.jmilne.org | tytuł =Group Theory | data dostępu = 2011-08-23| nazwisko =Milne |imię=J. S. | opublikowany = | pracadata = | datajęzyk = |data językdostępu = 2011-08-23 |odn=tak}}

#* {{cytuj książkę | autor =Скорняков Л. А. | tytuł =Элементы алгебры | wydawca =Наука | miejsce =Москва | rok =1986 | strony = | isbn = |odn=tak}}