Moc zbioru: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
odmiana nazwiska |
m różne poprawki redakcyjne |
||
Linia 2:
'''Moc zbioru, liczba kardynalna''' – uogólnienie pojęcia liczebności [[Zbiór|zbioru]] na dowolne zbiory, także nieskończone. Nieformalnie, moc zbioru jest tym ''większa'' im ''większy'' jest zbiór.
Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu '''równoliczności''' dwóch zbiorów
Zbiory mają tę samą
[[Georg Cantor]], twórca teorii mnogości, określał moc zbioru jako tę własność, którą otrzymamy abstrahując od charakteru elementów zbioru i ich wzajemnych [[Relacja (matematyka)|relacji]] takich, jak np. [[częściowy porządek|uporządkowanie]].
Linia 14:
== Przykłady ==
=== Zbiory skończone ===
Dla
=== Zbiory nieskończone przeliczalne ===
Linia 24:
* Zbiór [[liczby algebraiczne|liczb algebraicznych]] także jest przeliczalny (nieskończony).
Można wykazać, że dla każdego zbioru nieskończonego istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru liczb naturalnych na jego właściwy podzbiór. To oznacza, że moc zbioru liczb naturalnych jest ''najmniejszą'' spośród mocy zbiorów nieskończonych. Liczbę kardynalną odpowiadającą mocy zbioru liczb naturalnych oznacza się
=== Zbiory nieprzeliczalne ===
[[Zbiór nieprzeliczalny|Zbiorami nieprzeliczalnymi]] nazywa się zbiory nieskończone, które nie są przeliczalne. Georg Cantor wykazał, że przedział [0,1] jest równoliczny ze zbiorem [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], a następnie, używając [[metoda przekątniowa|metody przekątniowej]], udowodnił, że moc przedziału [0,1] (równa mocy zbioru liczb rzeczywistych) jest większa od mocy zbioru liczb naturalnych. Liczbę kardynalną określającą moc zbioru liczb rzeczywistych oznacza się symbolem <math>\mathfrak{c}</math> lub <math>2^{\aleph_0}</math>. Można wykazać, że liczb rzeczywistych jest ''dokładnie tyle'', ile podzbiorów zbioru liczb naturalnych, to znaczy [[zbiór potęgowy]] zbioru liczb naturalnych, oznaczany symbolem <math>\mathbf{2}^{\mathbb{N}}</math> lub <math>\mathcal{P}(\mathbb{N})</math>, jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych (uzasadnia to drugi z wprowadzonych symboli).
W pracy z roku
: Jeśli <math>X</math> jest dowolnym zbiorem, a <math>\mathcal{P}(X)</math> jest jego [[zbiór potęgowy|zbiorem potęgowym]], to znaczy rodziną wszystkich jego podzbiorów, to '''nie istnieje''' funkcja różnowartościowa ze zbioru <math>\mathcal{P}(X)</math> w zbiór <math>X</math>.
Innymi słowy, zbiór potęgowy danego zbioru ''X'' jest zawsze większy w sensie mocy od samego zbioru ''X''. Powyższe twierdzenie może służyć jako maszyna do ''produkowania'' zbiorów coraz większej mocy – wychodząc od zbioru liczb naturalnych <math>\mathbb{N}</math> zbiory <math>\mathcal{P}(\mathbb{N}), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N})), \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))), \ldots</math> są coraz większe w sensie mocy. Innym klasycznym twierdzeniem teorii mnogości, które – w pewnym sensie – mówi o tym, że istnieje ''nieskończenie wiele'' rodzajów ''nieskończoności'' jest [[twierdzenie Hartogsa (teoria mnogości)|twierdzenie Hartogsa]].
Linia 81:
| rok = 1964
| pmid = 16591132
}}</ref>. W połączeniu z opublikowanym w 1940 wynikiem [[Kurt Gödel|Kurta Gödla]], że hipoteza continuum jest niesprzeczna z aksjomatami, wynik Cohena oznacza niezależność hipotezy continuum od aksjomatów teorii mnogości. Można zatem przyjąć hipotezę continuum jako nowy aksjomat, albo – również poprawnie – przyjąć jej zaprzeczenie jako nowy aksjomat. Otrzymuje się wówczas różne, ale w obu przypadkach poprawne, wewnętrznie niesprzeczne teorie (pod założeniem niesprzeczności [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|teorii ZFC]]).
=== Arytmetyka liczb kardynalnych ===
Linia 92:
: <math>(X\times\{0\})\cup (Y\times \{1\})</math>.
* '''iloczyn liczb kardynalnych ''' <math>a</math> · <math>b</math> jako moc [[iloczyn kartezjański|iloczynu kartezjańskiego]] <math>X</math> × <math>Y</math>.
* '''potęgę liczb kardynalnych''' <math>a^b</math> jako moc zbioru wszystkich
W przypadku operowania na liczbach kardynalnych skończonych, tak określone działania są tożsame ze
: <math>a\cdot b=b</math>.
== Zobacz też ==▼
* [[duże liczby kardynalne]]▼
* [[regularna liczba kardynalna]]▼
* [[teoria PCF]]▼
{{przypisy}}
Linia 102 ⟶ 107:
# {{cytuj książkę|imię=Aleksander|nazwisko=Błaszczyk|autor link=Aleksander Błaszczyk|imię2=Sławomir|nazwisko2=Turek|tytuł=Teoria Mnogości|miejsce=Warszawa|wydawca=PWN|rok=2007}}
# {{cytuj książkę|nazwisko=Sierpiński|imię=Wacław|autor link=Wacław Sierpiński|tytuł=Cardinal and ordinal numbers|wydawca=PWN|rok=1965|wydanie=drugie poprawione|miejsce=Warszawa}}
▲== Zobacz też ==
▲* [[duże liczby kardynalne]]
▲* [[regularna liczba kardynalna]]
▲* [[teoria PCF]]
[[Kategoria:Liczby kardynalne|*]]
| |||