Aksjomat sumy: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m drobne redakcyjne |
uzupełnienie merytoryczne, kilka nowych źródeł |
||
Linia 1:
'''Aksjomat sumy''' (<math>Ax \bigcup \mathcal{}</math><ref name="Nowak">Marek Nowak, 'Wykłady z teorii mnogości'' [http://filozof.uni.lodz.pl/prac/mn/mat/Wyk_z_teorii_mnog/ZFROZ1.pdf Rozdział I: ''Aksjomatyka ZFC i podstawowe pojęcia teoriomnogościowe''], s.6</ref>) – jeden z [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatów teorii mnogości Zermela-Fraenkla]]{{odn|Nowak|2016|s=92}}<ref>Jacek Cichoń, [http://cs.pwr.edu.pl/cichon/Materialy/Wstep.pdf ''Wykłady ze wstępu do matematyki''], s.130</ref>.
Aksjomat ten można wypowiedzieć następująco:
:<math> \forall u \exist y \forall x (x \in y \Leftrightarrow \exist z (z \in u \wedge x \in z))</math><ref name="Cichon">Jacek Cichoń, [http://cs.pwr.edu.pl/cichon/Materialy/Wstep.pdf ''Wykłady ze wstępu do matematyki''], s.131, Aksjomat 4</ref><ref name="Urzyczyn">Paweł Urzyczyn, [https://www.mimuw.edu.pl/~urzy/Wtm/wtm.pdf ''Wstęp do teorii mnogości''], s.5</ref><ref name="Trebska">. Żaneta Trębska, [http://studia.elka.pw.edu.pl/pub/17L/LTM.A/teoria/ltm_wyklad_13.pdf ''Logika i teoria mnogości - Wykład 13: Sformalizowane teorie matematyczne''], s.3</ref><ref name="Nowak"/>.
[[Aksjomat ekstensjonalności]] gwarantuje jednoznaczność wyznaczenia takiego zbioru<ref name="Cichon"/><ref name="Urzyczyn"/>, który nazywamy sumą zbioru <math>u</math> i oznaczamy symbolicznie <math>\bigcup \mathcal{u}</math>{{odn|Nowak|2016|s=92}}<ref name="Cichon"/><ref name="Urzyczyn"/><ref name="Trebska"/>.
W matematyce często używa się notacji zindeksowanej, np.: <math>\bigcup_{i=1}^{n} x_i :=\bigcup\{A_i\}_{i=1}^{n}</math><ref name="Urzyczyn"/>.
Szczególnym wnioskiem wynikającym z tego aksjomatu jest istnienie sumy dwóch zbiorów<ref>Krzysztof Trzęsicki, [http://logika.uwb.edu.pl/KT/Elementy%20logiki%20i%20teorii%20mnogosci.pdf ''Elementy logiki i teorii mnogości''], s.187, Aksjomat 2</ref> — dla danych dwóch zbiorów: <math>a</math> i <math>b</math> definiujemy <math>a\cup b := \bigcup\{a,b\}</math><ref name="Cichon"/>.▼
▲Szczególnym wnioskiem wynikającym z tego aksjomatu jest istnienie sumy dwóch zbiorów<ref>Krzysztof Trzęsicki, [http://logika.uwb.edu.pl/KT/Elementy%20logiki%20i%20teorii%20mnogosci.pdf ''Elementy logiki i teorii mnogości''], s.187, Aksjomat 2</ref><ref name="Urzyczyn"/> — dla danych dwóch zbiorów: <math>a</math> i <math>b</math> definiujemy <math>a\cup b := \bigcup\{a,b\}</math><ref name="Cichon"/><ref name="Urzyczyn"/><ref name="GZ">W. Guzicki, P. Zakrzewski, ''Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości'': [https://www.mimuw.edu.pl/~piotrzak/PWN-F.pdf Dodatek F: ''Aksjomaty teorii mnogości''], s.F6, Przykład F.2.(1)</ref>. Istnienie rodziny <math>\{a,b\}</math> zapewnia [[aksjomat pary]]<ref name="GZ"/>.
{{Przypisy}}
| |||