|
'''Miara Hausdorffa''' – rodzaj [[Miara zewnętrzna|miary zewnętrznej]], która przypisuje liczbę z zakresu <math>[0,∞\infty ]</math> do każdego zbioru w przestrzeni '''R'''<supmath>''\mathbb{R}^n''</supmath> lub, bardziej ogólnie, w dowolnej [[Przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]]. Zerowymiarowa miara Hausdorffa to liczba punktów w zbiorze (jeśli jest skończony) lub ∞<math>\infty</math> jeśli jest nieskończony. Jednowymiarowa miara Hausdorffa [[Krzywa|zwykłej krzywej]] w '''R'''<supmath>''\mathbb{R}^n''</supmath> jest równa jej długości. Podobnie, dwuwymiarowa miara Hausdorffa [[Miara Lebesgue'a#Przegląd konstrukcji|mierzalnego podzbioru]] w '''R'''<supmath>''\mathbb{R}^2''</supmath> jest proporcjonalna do powierzchni tego zbioru. Stąd wynika, że miara Hausdorffa jest uogólnieniem wyliczenia, długości, powierzchni lub objętości. Istnieją ''<math>d''</math>−wymiarowe miary Hausdorffa dla dowolnego ''<math>d'' ≥ \geq 0</math>, które niekoniecznie jest całkowite. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska [[Felix Hausdorff|Feliksa Hausdorffa]]. Miary te są podstawowe w geometrycznej teorii miary. Pojawiają się one naturalnie w [[Analiza harmoniczna|analizie harmonicznej]] lub [[Teoria potencjału|teorii potencjału]].
== Definicja formalna ==
Niech <math>(X,\rho)</math> będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru <math>\scriptstyle U\subset X</math>, niech <math>\mathrm{diam}\;U</math> oznacza jego średnicę, to jest
: <math>\mathrm{diam}\;U :=\sup\{\rho(x,y)|x,y\in U\}, \quad \mathrm{diam}\;\emptyset:=0</math>
Niech <math>\scriptstyle S</math> będzie dowolnym podzbiorem <math>\scriptstyle X</math>, a <math>\scriptstyle \delta>0</math> liczbą rzeczywistą. Definiuje się
: <math>H^d_\delta(S)=\inf\Bigl\{\sum_{i=1}^\infty (\operatorname{diam}\;U_i)^d: \bigcup_{i=1}^\infty U_i\supseteq S,\,\operatorname{diam}\;U_i<\delta\Bigr\}</math>
Należy zauważyć, że <math>\scriptstyle H^d_\delta(S)</math> zmniejsza się monotoniczne wraz z wzrostem δ<math>\delta</math>, gdyż im większe jest δ<math>\delta</math>, tym więcej zestawów zbiorów jest dozwolonych, powodując, że [[Kresy dolny i górny|infimum]] jest mniejsze. Zatem granica <math>\scriptstyle\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)</math> istnieje, lecz może być nieskończona. Niech
: <math> H^d(S):=\sup_{\delta>0} H^d_\delta(S)=\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)</math>
Można zauważyć, że <math>\scriptstyle H^d(S)</math> jest [[Miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]]. Nazywa się ją <math>\scriptstyle d</math>−wymiarową miarą Hausdorffa z <math>\scriptstyle S</math>.
Według powyższej definicji zbiory pokrywające są dowolne. Jednak mogą one być otwarte lub zamknięte, a i tak wywołają taką samą miarę, mimo, że przybliżenia <math>\scriptstyle H^d_\delta(S)</math> mogą się różnić<ref name="Federed1969">Federer 1969, §2.10.2</ref>.
== Własności ==
Jeśli ''<math>d''</math> jest dodatnią liczbą całkowitą, ''<math>d''</math> wymiarowa miara Hausdorffa w '''R'''<supmath>\mathbb{R}^d</supmath> jest przeskalowaną typową ''<math>d''</math>−wymiarową [[Miara Lebesgue'a|miarą Lebesgue'a]] <math>\lambda_d</math>, która jest znormalizowana w taki sposób, że miara ''[[Hipersześcian|kostki]]'' jednostkowej <math>[0,1]<sup>''^d''</supmath> wynosi 1. Istotnie, dla dowolnego [[Zbiór borelowski|zbioru borelowskiego]] ''<math>E''</math>
: <math>\lambda_d(E) = 2^{-d} \alpha_d H^d(E)\,</math>
gdzie α<submath>''d''\alpha_d</submath> to objętość [[Hiperkula|hiperkuli]] jednostkowej
: <math>\alpha_d = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(\frac{d}{2}+1)}.</math>
'''Uwaga:''' spotyka się też definicje miary Hausdorffa unormowane w taki sposób aby odpowiadały one dokładnie miarom Lebesgue'a stosownie do całkowitego wymiaru ''<math>d''</math> przestrzeni euklidesowej.
== Związek z wymiarem Hausdorffa ==
Jedna z kilku możliwych równoważnych definicji [[Wymiar Hausdorffa|wymiaru Hausdorffa]] to
: <math>\operatorname{dim}_{\mathrm{Haus}}(S)=\inf\{d\ge 0:H^d(S)=0\}=\sup\bigl(\{d\ge 0:H^d(S)=\infty\}\cup\{0\}\bigr)</math>
gdzie przyjmuje się
: <math>\inf\emptyset=\infty\,</math>
== Zobacz też ==
== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę | imię=Herbert | nazwisko=Federer | tytuł=Geometric Measure Theory | wydawca=Springer-Verlag | rok=1969 | isbn=3-540-60656-4 }}
* {{Cytuj pismo | imię=Edward | nazwisko=Szpilrajn | autor link=Edward Marczewski | tytuł=La dimension et la mesure | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm28/fm28111.pdf | czasopismo=Fundamenta Mathematicae | wolumin=28 | rok=1937 | strony=81-89 | język=fr }}
[[Kategoria:Geometria fraktalna]]
| 