Ekstremum funkcji: Różnice pomiędzy wersjami

[[Plik:Extrema1.gif|thumb|250px|Ekstrema lokalne funkcji <math>\scriptstyle{f(x)=2x^3-9x^2+12x-3}</math> zaznaczone kolorem niebieskim (właściwe maksimum lokalne) i czerwonym (właściwe minimum lokalne)]]

* Funkcja <math>f(x)</math> przyjmuje w punkcie <math>x_0</math> '''maksimum lokalne''' (odpowiednio: '''minimum lokalne'''), jeśli w pewnym [[zbiór otwarty|otwartym]]<ref>Czasem uogólnia się to na dowolne [[zbiór pusty|niepuste]] [[zbiór otwarty|zbiory otwarte]]; Zbiór musi być otwarty, żeby wykluczyć patologiczny przypadek, gdy wybierzemy punkt <math>\scriptstyle{x_0\,}</math> na [[brzeg (matematyka)|brzegu]] tego zbioru. Wówczas np. funkcja <math>\scriptstyle{f(x)=x\,}</math> mogłaby mieć minimum i maksimum właściwe w każdym swoim punkcie.</ref> [[otoczenie (matematyka)|otoczeniu]] tego punktu (np. w pewnym [[przedział (matematyka)|przedziale otwartym]]) funkcja nigdzie nie ma wartości większych (odpowiednio: mniejszych).

Plik:Cosinus.svg|Funkcja [[Funkcje trygonometryczne|cosinus]] osiąga maksimum dla każdej parzystej wielokrotności <math>\pi,</math>, czyli <math>\dots, -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, \dots</math> oraz minimum dla każdej nieparzystej wielokrotności <math>\pi,</math>, czyli <math>\dots, -5\pi, -3\pi, -\pi, \pi, 3\pi, 5\pi, \dots.</math> Są to lokalne ekstrema właściwe i jednocześnie ekstrema globalne (ale nie globalne ekstrema właściwe!).

Plik:Non-strict minimum.svg|Funkcja <math>f(x)=\left\{\begin{array}{l}\scriptstyle{x^2(1+\sin\frac{1}{x}),\; x\neq 0}\\\scriptstyle{0,\; x=0}\end{array}\right.</math> ma w punkcie <math>x_0=0</math> minimum lokalne, jednak nie jest to minimum właściwe – w dowolnej bliskości tego punktu można znaleźć inne punkty, w których przyjmuje ona tę samą wartość (oprócz tego posiada nieskończoną liczbę minimów i maksimów właściwych).

[[Plik:Strict minimum everywhere.png|thumb|350px|Fragment wykresu funkcji <math>\scriptstyle{f\colon \mathbb{Q}\ni \frac{p}{q}\mapsto \left| \frac{q}{\operatorname{NWD}(p,q)} \right| },</math> mającej właściwe minimum w każdym punkcie swojej dziedziny. Kropki – punkty <math>\scriptstyle{\left( \frac{p}{q},q \right)}</math> odpowiadają nieskracalnym ułamkom <math>\scriptstyle{\frac{p}{q}}</math>]]

Dla dowolnego wymiernego&nbsp; <math>x</math> &nbsp;istnieje otoczenie otwarte, w którym wszystkie inne liczby wymierne mają większy mianownik, a więc większą wartość funkcji&nbsp; <math>f</math><ref>Stwierdzenie to wynika z następującej obserwacji: jeżeli <math>\tfrac{p}{q}</math> jest ułamkiem nieskracalnym, to każdy ułamek <math>\tfrac{a}{b}\neq \tfrac{p}{q}</math> różniący się od <math>\tfrac{p}{q}</math> o mniej niż <math>\tfrac{1}{q^2},</math> ma mianownik większy od ''q''. Nierówność

: <math>\scriptstyle{\left|\frac{pb-aq}{qb}\right|=\frac{|pb-aq|}{qb}<\frac{1}{q^2},}</math>

a wobec <math>\scriptstyle{|pb-aq|\geqslant 1}</math> jest <math>\scriptstyle{b>q.}</math>.</ref>. A zatem funkcja ta ma dla każdej liczby wymiernej (czyli dla każdego punktu swojej dziedziny) właściwe minimum lokalne.

[[Plik:Extrema2.gif|thumb|250px|Funkcja <math>\scriptstyle{g(x)=x^3}</math> nie ma dla <math>x=0</math> ekstremum lokalnego, mimo że jej pochodna w tym punkcie jest równa zero]]

Funkcja ciągła <math>f\colon [a,b]\to \mathbb{R},</math> różniczkowalna w przedziale <math>(a,b)</math> i mająca skończoną liczbę [[punkt stacjonarny|punktów stacjonarnych]] (tj. takich, w których zeruje się jej pierwsza pochodna)<ref>Założenie o skończonej liczbie punktów stacjonarnych można zastąpić słabszym żądaniem, by każdy punkt stacjonarny był izolowany. Zobacz przykład funkcji <math>\scriptstyle{f(x)=\left\{\begin{array}{l}\scriptstyle{x^2(1+\sin\frac{1}{x}),\; x\neq 0}\\\scriptstyle{0,\; x=0}\end{array}\right.,}</math> której wykres pokazano w sekcji [[Ekstremum#Proste przykłady ekstremów|Proste przykłady ekstremów]].</ref> ma w punkcie <math>x_0\in (a,b)</math>:

Jeśli o funkcji <math>f,</math> określonej jak wyżej, założy się dodatkowo, że jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale <math>(a,b)</math> oraz jej [[Pochodna funkcji|druga pochodna]] jest ciągła, to jeżeli <math>f^\prime(x_0)=0</math> i <math>f^{\prime\prime}(x_0)\neq 0,</math> to funkcja <math>f</math> ma w punkcie <math>x_0</math> ekstremum, przy czym, gdy <math>f^{\prime\prime}(x_0)<0,</math> to jest to maksimum lokalne, a gdy <math>f^{\prime\prime}(x_0)>0,</math> to minimum lokalne<ref>'''Dowód:''' Ze [[wzór Taylora|wzoru Taylora]] dla <math>\scriptstyle{n=2}</math> wynika:

: <math>\scriptstyle{f(x_0+h)=f(x_0)+hf^\prime(x_0)+\frac{1}{2}h^2f^{\prime\prime}(x_0+\theta h)}</math>

: <math>\scriptstyle{0<\theta<1}</math>

: <math>\scriptstyle{f^\prime(x_0)=0}</math>

: <math>\scriptstyle{f(x_0+h)-f(x_0)=\frac{1}{2}h^2f^{\prime\prime}(x_0+\theta h)}</math>

Dla <math>\scriptstyle{h\neq 0}</math> prawa strona ma ten sam znak, co <math>\scriptstyle{f^{\prime\prime}(x_0+\theta h).}</math> Gdy <math>\scriptstyle{ f^{\prime\prime}(x_0)<0,}</math> to z ciągłości <math>\scriptstyle{f^{\prime\prime}}</math> wynika <math>\scriptstyle{f^{\prime\prime}(x)<0}</math> w pewnym otoczeniu punktu <math>\scriptstyle{x_0,}</math> więc w tym otoczeniu

: <math>\scriptstyle{f(x_0+h)-f(x_0)=f(x)-f(x_0)<0}</math> dla <math>\scriptstyle{x\neq x_0,}</math>

zatem istnieje maksimum w punkcie <math>\scriptstyle{x_0.}</math> Analogicznie, istnieje minimum gdy <math>\scriptstyle{f^{\prime\prime}(x_0)>0.}</math>.</ref>.

[[Plik:Pudelko.png|thumb|200px|Siatka prostopadłościennego pudełka wykonana z kwadratu o boku długości <math>\scriptstyle{a.}</math>]]

Tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, w punkcie stacjonarnym wcale nie musi być ekstremum. Na przykład dla funkcji <math>g\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math> danej wzorem <math>g(x,y)=xy,</math> której wykresem jest [[paraboloida hiperboliczna]], [[pochodna cząstkowa|pochodne cząstkowe]] <math>g^\prime_x(x,y)=x,\; g^\prime_y(x,y)=y</math> są jednocześnie równe zeru<ref>Jeśli którakolwiek pochodna kierunkowa, w tym pochodna cząstkowa, jest różna od zera, to również różniczka jest niezerowa (o ile istnieje). W tym przykładzie obie pochodne cząstkowe są ciągłe, <!-- a więc korzystając z twierdzenia??? – z lematu Schwarza --> istnieje również pochodna Frécheta i <math>\scriptstyle{ f^\prime(x_0)\equiv 0}</math>.</ref> tylko w punkcie <math>(0,0),</math> w którym <math>f(x,y)=0.</math> Jednocześnie widać (por. rysunek obok), że w dowolnym otoczeniu zera funkcja przybiera zarówno wartości dodanie, jak i ujemne, a więc nie może być w nim ekstremum.

\end{matrix}\right.</math> (rozwiązując ten układ równań)<ref>W przypadku funkcji różniczkowalnej <math>\scriptstyle{z=f(x,y)}</math> równości te mają prosty sens geometryczny: [[płaszczyzna styczna]] do powierzchni <math>\scriptstyle{z=f(x,y)}</math> w jej punkcie odpowiadającym ekstremum powinna być równoległa do płaszczyzny <math>\scriptstyle{xy.}</math>.</ref>

# Jeżeli w danym punkcie <math>(x_0, y_0)</math> wyznacznik <math>\delta(x_0,y_0)<0,</math> to w tym punkcie nie ma ekstremum, jeśli <math>\delta(x_0,y_0)=0,</math> to w pewnych przypadkach może istnieć ekstremum, a pewnych nie<ref>Np. funkcja <math>\scriptstyle{f(x,y)=x^4+y^4}</math> ma w punkcie <math>\scriptstyle{(0,0)}</math> minimum, natomiast funkcja <math>\scriptstyle{g(x,y)=x^3+y^2}</math> nie ma w punkcie <math>\scriptstyle{(0,0)}</math> ekstremum lokalnego.</ref>. I ostatecznie, jeżeli <math>\delta(x_0,y_0)>0,</math> to istnieje ekstremum lokalne w tym punkcie, jeśli:

[[Plik:Extrema3.gif|thumb|250px|Wykres funkcji <math>\scriptstyle{f\left( {x,y} \right) = 2x^3 - y^3 + 12x^2 + 27y}</math> z zaznaczonymi ekstremami lokalnymi i punktami siodłowymi]]

gdzie <math>y=y(x),</math>, a w konsekwencji także

<math>F(x,y)=0</math><ref>Wzór ten można otrzymać różniczkując tożsamość <math>\scriptstyle{F^\prime_x+F^\prime_yy^\prime(x)=0}</math> dla <math>\scriptstyle{x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)}</math>.</ref>. W tym celu należy wyznaczyć punkty, w których

[[Plik:Braquistócrona.gif|thumb|260px|Na czerwono zaznaczono fragment [[cykloida|cykloidy]] – brachistochronę. [[Punkt materialny]] stacza się od punktu <math>\scriptstyle{A}</math> do punktu <math>\scriptstyle{B}</math> w najkrótszym czasie właśnie po tej krzywej.]]

: <math>\frac{\partial L}{\partial q _{k}} - \frac{d}{dt} \left (\frac{\partial L}{\partial \dot{q} _{k}}\right ) = 0,\;\; 1\leqslant k \leqslant n</math>

# <math>x_0\in X</math> jest [[punkt regularny#Teoria różniczkowania|punktem regularnym]] zbioru <math>M=G^{-1}(\{0\}),</math>, tj. <math>G^\prime(x_0)</math> jest [[Funkcja „na”|suriekcją]] <math>X</math> na <math>Y,</math>

jest dodatnio<ref>Uwaga: w tym wypadku pojęcie dodatniej (ujemnej) określoności zostaje rozszerzone na [[Przekształcenie wieloliniowe|funkcjonały ''n''-liniowe]], tj. powiemy że funkcjonał <math>\scriptstyle{n}</math>-liniowy <math>\scriptstyle{\varphi\colon X\times\ldots\times X\to \mathbb{R}}</math> jest dodatnio (ujemnie) określony, jeśli istnieje takie <math>\scriptstyle{c>0,}</math> że <math>\scriptstyle{\varphi(h,\ldots, h)\geqslant c\|h\|^n \; (\leqslant -c\|h\|^n)}</math> dla wszelkich <math>\scriptstyle{h\in X.}</math>.</ref> (ujemnie) określona dla <math>h\in X_1,</math> to funkcja <math>f</math> ma w punkcie <math>x_0</math> minimum (maksimum) warunkowe.

Badanie ekstremów warunkowych przekształceń dowolnych przestrzeni Banacha jest rzeczą trudną. Już samo spełnienie założeń twierdzenia Lusternika może okazać się niemożliwe, gdyż nie każdą przestrzeń unormowaną da się rozłożyć na topologiczną sumę prostą jej podprzestrzeni<ref>Da się to zrobić w przypadku [[przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]] – [[twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym]] mówi, że dla każdej [[zbiór domknięty|domkniętej]] podprzestrzeni przestrzeni Hilberta istnieje [[dopełnienie ortogonalne]]. W szczególności, rozkład taki jest możliwy jeżeli <math>\scriptstyle{X}</math> jest przestrzenią skończenie wymiarową.</ref>. Duża część zagadnień praktycznych sprowadza się do badania ekstremów warunkowych w przypadku gdy <math>X=\mathbb{R}^n,\; Y=\mathbb{R}^m,\; n\geqslant m,</math> a odwzorowanie <math>G\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m</math> reprezentowane jest przez układ <math>m</math> funkcji o <math>n</math> zmiennych, tj. <math>G=(G_1,\ldots, G_m).</math>

i szukamy dla niej warunków koniecznych na istnienie jej ekstremów, jako funkcji dwóch zmiennych<ref>Por. ustęp [[ekstremum#Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny|Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny]].</ref>, tj. rozwiązaniu układu równań <math>F^\prime_x=0, F^\prime_y=0,</math>, a następnie wyrugowaniu z tego układu równań czynnika nieoznaczonego <math>\lambda.</math><br />Do otrzymanego warunku dołączamy warunek <math>G(x,y)=0.</math> Równoważnie, wszystkie punkty, które mogą być ekstremami warunkowymi można wyznaczyć z układu równań

Z powyższego wynika, że wszystkie prawdopodobieństwa są równe, tj. <math>p_1=\ldots=p_n,</math>, a ponieważ ich suma jest równa jeden, wynika stąd, że dla dowolnego <math>1\leqslant k\leqslant n</math>: