Ekstremum funkcji: Różnice pomiędzy wersjami

Usunięte 613 bajtów ,  1 rok temu
m
m (Redukuję wywołanie Szablon:Przypisy i dodaję nagłówek)
m (WP:SK+Bn)
[[Plik:Extrema1.gif|thumb|250px|Ekstrema lokalne funkcji <math>\scriptstyle{f(x)=2x^3-9x^2+12x-3}</math> zaznaczone kolorem niebieskim (właściwe maksimum lokalne) i czerwonym (właściwe minimum lokalne)]]
'''Ekstremum funkcji''' (l. mn. ''ekstrema''; z {{łac.|extrēmus}} – najdalszy, ostatni) – maksymalna lub minimalna wartość [[Funkcja|funkcji]].
 
* Funkcja <math>f(x)</math> przyjmuje w punkcie <math>x_0</math> '''maksimum lokalne''' (odpowiednio: '''minimum lokalne'''), jeśli w pewnym [[zbiór otwarty|otwartym]]<ref>Czasem uogólnia się to na dowolne [[zbiór pusty|niepuste]] [[zbiór otwarty|zbiory otwarte]]; Zbiór musi być otwarty, żeby wykluczyć patologiczny przypadek, gdy wybierzemy punkt <math>\scriptstyle{x_0\,}</math> na [[brzeg (matematyka)|brzegu]] tego zbioru. Wówczas np. funkcja <math>\scriptstyle{f(x)=x\,}</math> mogłaby mieć minimum i maksimum właściwe w każdym swoim punkcie.</ref> [[otoczenie (matematyka)|otoczeniu]] tego punktu (np. w pewnym [[przedział (matematyka)|przedziale otwartym]]) funkcja nigdzie nie ma wartości większych (odpowiednio: mniejszych).
* Jeśli dodatkowo w pewnym otwartym [[otoczenie (matematyka)|sąsiedztwie]] punktu <math>x_0</math> funkcja nie ma również wartości równych <math>f(x_0),</math> to jest to '''maksimum''' (odpowiednio: '''minimum''') '''lokalne właściwe'''.
* Minima i maksima lokalne są zbiorczo nazywane '''ekstremami lokalnymi'''.
=== Proste przykłady ekstremów ===
<gallery widths="350px" heights="250px" perrow="2">
Plik:Cosinus.svg|Funkcja [[Funkcje trygonometryczne|cosinus]] osiąga maksimum dla każdej parzystej wielokrotności <math>\pi,</math>, czyli <math>\dots, -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, \dots</math> oraz minimum dla każdej nieparzystej wielokrotności <math>\pi,</math>, czyli <math>\dots, -5\pi, -3\pi, -\pi, \pi, 3\pi, 5\pi, \dots.</math> Są to lokalne ekstrema właściwe i jednocześnie ekstrema globalne (ale nie globalne ekstrema właściwe!).
Plik:Function x^2.svg|[[Funkcja kwadratowa]] <math>f(x)=x^2</math> osiąga właściwe minimum (lokalne i globalne) dla <math>x=0.</math> Nie ma maksimum, nawet lokalnego. Dla każdego argumentu można w jego bezpośrednim sąsiedztwie wskazać punkt w którym funkcja przyjmuje większą wartość.
Plik:Floor function.svg|Funkcja [[podłoga i sufit|entier]] osiąga w każdym punkcie maksimum lokalne niewłaściwe. Minimum lokalne występuje jednak tylko dla liczb niecałkowitych. W każdym otoczeniu [[liczby całkowite]]j z lewej strony występują mniejsze wartości funkcji. Nie ma ekstremów globalnych.
Plik:Non-strict minimum.svg|Funkcja <math>f(x)=\left\{\begin{array}{l}\scriptstyle{x^2(1+\sin\frac{1}{x}),\; x\neq 0}\\\scriptstyle{0,\; x=0}\end{array}\right.</math> ma w punkcie <math>x_0=0</math> minimum lokalne, jednak nie jest to minimum właściwe – w dowolnej bliskości tego punktu można znaleźć inne punkty, w których przyjmuje ona tę samą wartość (oprócz tego posiada nieskończoną liczbę minimów i maksimów właściwych).
</gallery>
 
=== Przykład – właściwe minimum lokalne w każdym punkcie dziedziny ===
[[Plik:Strict minimum everywhere.png|thumb|350px|Fragment wykresu funkcji <math>\scriptstyle{f\colon \mathbb{Q}\ni \frac{p}{q}\mapsto \left| \frac{q}{\operatorname{NWD}(p,q)} \right| },</math> mającej właściwe minimum w każdym punkcie swojej dziedziny. Kropki – punkty <math>\scriptstyle{\left( \frac{p}{q},q \right)}</math> odpowiadają nieskracalnym ułamkom <math>\scriptstyle{\frac{p}{q}}</math>]]
Niech funkcja&nbsp; <math>f</math> &nbsp;przyporządkowuje każdej [[liczby wymierne|liczbie wymiernej]] wartość mianownika wyrażającego ją [[ułamek|ułamka]] [[Ułamek#Działania na ułamkach|skróconego]]. Formalnie:
: <math>f\colon \mathbb{Q}\ni \frac{p}{q}\mapsto \left| \frac{q}{\operatorname{NWD}(p,q)} \right|</math>
gdzie NWD oznacza [[największy wspólny dzielnik]].
 
Dla dowolnego wymiernego&nbsp; <math>x</math> &nbsp;istnieje otoczenie otwarte, w którym wszystkie inne liczby wymierne mają większy mianownik, a więc większą wartość funkcji&nbsp; <math>f</math><ref>Stwierdzenie to wynika z następującej obserwacji: jeżeli <math>\tfrac{p}{q}</math> jest ułamkiem nieskracalnym, to każdy ułamek <math>\tfrac{a}{b}\neq \tfrac{p}{q}</math> różniący się od <math>\tfrac{p}{q}</math> o mniej niż <math>\tfrac{1}{q^2},</math> ma mianownik większy od ''q''. Nierówność
: <math>\scriptstyle{\left|\frac{p}{q}-\frac{a}{b}\right|< \frac{1}{q^2}}</math>
Stwierdzenie to wynika z następującej obserwacji: jeżeli <math>\tfrac{p}{q}</math> jest ułamkiem nieskracalnym, to każdy ułamek <math>\tfrac{a}{b}\neq \tfrac{p}{q}</math> różniący się od <math>\tfrac{p}{q}</math> o mniej niż <math>\tfrac{1}{q^2},</math> ma mianownik większy od ''q''. Nierówność
: <math>\scriptstyle{\left|\frac{p}{q}-\frac{a}{b}\right|< \frac{1}{q^2}}</math>
prowadzi bowiem do
: <math>\scriptstyle{\left|\frac{pb-aq}{qb}\right|=\frac{|pb-aq|}{qb}<\frac{1}{q^2},}</math>
a wobec <math>\scriptstyle{|pb-aq|\geqslant 1}</math> jest <math>\scriptstyle{b>q.}</math>.</ref>. A zatem funkcja ta ma dla każdej liczby wymiernej (czyli dla każdego punktu swojej dziedziny) właściwe minimum lokalne.
 
=== Warunek wystarczający ekstremum globalnego (twierdzenie Weierstrassa) ===
 
==== Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego (twierdzenie Fermata) ====
[[Plik:Extrema2.gif|thumb|250px|Funkcja <math>\scriptstyle{g(x)=x^3}</math> nie ma dla <math>x=0</math> ekstremum lokalnego, mimo że jej pochodna w tym punkcie jest równa zero]]
[[warunek konieczny|Warunkiem koniecznym]] istnienia ekstremów lokalnych różniczkowawalnych funkcji <math>f</math> w pewnym punkcie <math>x_0\in (a,b)</math> jest
: <math>f^\prime (x_0)=0</math>
 
==== Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego ====
Funkcja ciągła <math>f\colon [a,b]\to \mathbb{R},</math> różniczkowalna w przedziale <math>(a,b)</math> i mająca skończoną liczbę [[punkt stacjonarny|punktów stacjonarnych]] (tj. takich, w których zeruje się jej pierwsza pochodna)<ref>Założenie o skończonej liczbie punktów stacjonarnych można zastąpić słabszym żądaniem, by każdy punkt stacjonarny był izolowany. Zobacz przykład funkcji <math>\scriptstyle{f(x)=\left\{\begin{array}{l}\scriptstyle{x^2(1+\sin\frac{1}{x}),\; x\neq 0}\\\scriptstyle{0,\; x=0}\end{array}\right.,}</math> której wykres pokazano w sekcji [[Ekstremum#Proste przykłady ekstremów|Proste przykłady ekstremów]].</ref> ma w punkcie <math>x_0\in (a,b)</math>:
* minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie <math>\delta >0,</math> że:
** <math>f^\prime(x_0)=0</math>
 
==== Inne warunki wystarczające istnienia ekstremów ====
Jeśli o funkcji <math>f,</math> określonej jak wyżej, założy się dodatkowo, że jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale <math>(a,b)</math> oraz jej [[Pochodna funkcji|druga pochodna]] jest ciągła, to jeżeli <math>f^\prime(x_0)=0</math> i <math>f^{\prime\prime}(x_0)\neq 0,</math> to funkcja <math>f</math> ma w punkcie <math>x_0</math> ekstremum, przy czym, gdy <math>f^{\prime\prime}(x_0)<0,</math> to jest to maksimum lokalne, a gdy <math>f^{\prime\prime}(x_0)>0,</math> to minimum lokalne<ref>'''Dowód:''' Ze [[wzór Taylora|wzoru Taylora]] dla <math>\scriptstyle{n=2}</math> wynika:
: <math>\scriptstyle{f(x_0+h)=f(x_0)+hf^\prime(x_0)+\frac{1}{2}h^2f^{\prime\prime}(x_0+\theta h)}</math>
gdzie
: <math>\scriptstyle{0<\theta<1}</math>
więc z:
: <math>\scriptstyle{f^\prime(x_0)=0}</math>
wynika:
: <math>\scriptstyle{f(x_0+h)-f(x_0)=\frac{1}{2}h^2f^{\prime\prime}(x_0+\theta h)}</math>
Dla <math>\scriptstyle{h\neq 0}</math> prawa strona ma ten sam znak, co <math>\scriptstyle{f^{\prime\prime}(x_0+\theta h).}</math> Gdy <math>\scriptstyle{ f^{\prime\prime}(x_0)<0,}</math> to z ciągłości <math>\scriptstyle{f^{\prime\prime}}</math> wynika <math>\scriptstyle{f^{\prime\prime}(x)<0}</math> w pewnym otoczeniu punktu <math>\scriptstyle{x_0,}</math> więc w tym otoczeniu
: <math>\scriptstyle{f(x_0+h)-f(x_0)=f(x)-f(x_0)<0}</math> dla <math>\scriptstyle{x\neq x_0,}</math>
zatem istnieje maksimum w punkcie <math>\scriptstyle{x_0.}</math> Analogicznie, istnieje minimum gdy <math>\scriptstyle{f^{\prime\prime}(x_0)>0.}</math>.</ref>.
Powyższe kryterium nie rozstrzyga przypadku, gdy druga pochodna jest równa zero.
 
 
=== Proste zagadnienia optymalizacyjne ===
[[Plik:Pudelko.png|thumb|200px|Siatka prostopadłościennego pudełka wykonana z kwadratu o boku długości <math>\scriptstyle{a.}</math>]]
Zagadnienie wyznaczania ekstremów funkcji występuje często w fizyce i technice. Oto przykład:
 
Punkt, w którym różniczka się zeruje (jest funkcją stale równą zero w pewnym otoczeniu <math>x_0</math>), nazywany jest '''punktem stacjonarnym'''.
 
Tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, w punkcie stacjonarnym wcale nie musi być ekstremum. Na przykład dla funkcji <math>g\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math> danej wzorem <math>g(x,y)=xy,</math> której wykresem jest [[paraboloida hiperboliczna]], [[pochodna cząstkowa|pochodne cząstkowe]] <math>g^\prime_x(x,y)=x,\; g^\prime_y(x,y)=y</math> są jednocześnie równe zeru<ref>Jeśli którakolwiek pochodna kierunkowa, w tym pochodna cząstkowa, jest różna od zera, to również różniczka jest niezerowa (o ile istnieje). W tym przykładzie obie pochodne cząstkowe są ciągłe, <!-- a więc korzystając z twierdzenia??? – z lematu Schwarza --> istnieje również pochodna Frécheta i <math>\scriptstyle{ f^\prime(x_0)\equiv 0}</math>.</ref> tylko w punkcie <math>(0,0),</math> w którym <math>f(x,y)=0.</math> Jednocześnie widać (por. rysunek obok), że w dowolnym otoczeniu zera funkcja przybiera zarówno wartości dodanie, jak i ujemne, a więc nie może być w nim ekstremum.
 
=== Definicje pomocnicze ===
f^\prime_x(x_0,y_0)=0 \\
f^\prime_y(x_0,y_0)=0 \\
\end{matrix}\right.</math> (rozwiązując ten układ równań)<ref>W przypadku funkcji różniczkowalnej <math>\scriptstyle{z=f(x,y)}</math> równości te mają prosty sens geometryczny: [[płaszczyzna styczna]] do powierzchni <math>\scriptstyle{z=f(x,y)}</math> w jej punkcie odpowiadającym ekstremum powinna być równoległa do płaszczyzny <math>\scriptstyle{xy.}</math>.</ref>
# Dla każdego punktu z osobna badamy znak [[Macierz Hessego|wyznacznika Hessego]]<br /><br /><math>\delta(x_0,y_0)=\left|\begin{array}{ll}f^{\prime\prime}_{xx}(x_0,y_0) & f^{\prime\prime}_{xy}(x_0,y_0) \\ f^{\prime\prime}_{yx}(x_0,y_0) & f^{\prime\prime}_{yy}(x_0,y_0)\end{array}\right|</math><br /><br />Na mocy [[lemat Schwarza|lematu Schwarza]] <math>f^{\prime\prime}_{xy}(x_0,y_0)=f^{\prime\prime}_{yx}(x_0,y_0),</math> więc<br /><br /><math>\delta(x_0,y_0)=f^{\prime\prime}_{xx}(x_0,y_0)f^{\prime\prime}_{yy}(x_0,y_0)-(f^{\prime\prime}_{xy}(x_0,y_0))^2.</math>
# Jeżeli w danym punkcie <math>(x_0, y_0)</math> wyznacznik <math>\delta(x_0,y_0)<0,</math> to w tym punkcie nie ma ekstremum, jeśli <math>\delta(x_0,y_0)=0,</math> to w pewnych przypadkach może istnieć ekstremum, a pewnych nie<ref>Np. funkcja <math>\scriptstyle{f(x,y)=x^4+y^4}</math> ma w punkcie <math>\scriptstyle{(0,0)}</math> minimum, natomiast funkcja <math>\scriptstyle{g(x,y)=x^3+y^2}</math> nie ma w punkcie <math>\scriptstyle{(0,0)}</math> ekstremum lokalnego.</ref>. I ostatecznie, jeżeli <math>\delta(x_0,y_0)>0,</math> to istnieje ekstremum lokalne w tym punkcie, jeśli:
:* <math>f^{\prime\prime}_{xx}(x_0,y_0)>0</math> co dla <math>\delta(x_0,y_0)>0</math> jest równoważne <math>f^{\prime\prime}_{yy}(x_0,y_0)>0,</math> to jest to minimum lokalne,
:* <math>f^{\prime\prime}_{xx}(x_0,y_0)<0</math> co dla <math>\delta(x_0,y_0)>0</math> jest równoważne <math>f^{\prime\prime}_{yy}(x_0,y_0)<0</math> to jest to maksimum lokalne.
 
=== Przykład ===
[[Plik:Extrema3.gif|thumb|250px|Wykres funkcji <math>\scriptstyle{f\left( {x,y} \right) = 2x^3 - y^3 + 12x^2 + 27y}</math> z zaznaczonymi ekstremami lokalnymi i punktami siodłowymi]]
Znaleźć ekstrema funkcji
: <math>f\left( {x,y} \right) = 2x^3 - y^3 + 12x^2 + 27y</math>
Na mocy [[Funkcja uwikłana#Funkcje rzeczywiste|twierdzenia o funkcji uwikłanej]], wzór
: <math>y^\prime(x)=-\frac{F^\prime_x(x,y)}{F^\prime_y(x,y)}</math>
gdzie <math>y=y(x),</math>, a w konsekwencji także
: <math>y^{\prime\prime}=-\frac{F^{\prime\prime}_{xx}(F^{\prime}_{y})^2-2F^{\prime\prime}_{xy}F^\prime_xF^\prime_y+F^{\prime\prime}_{yy}(F^{\prime}_{x})^2}{(F^\prime_y)^3}</math>
pozwala wyznaczyć ekstrema funkcji <math>y</math> uwikłanej w równaniu
<math>F(x,y)=0</math><ref>Wzór ten można otrzymać różniczkując tożsamość <math>\scriptstyle{F^\prime_x+F^\prime_yy^\prime(x)=0}</math> dla <math>\scriptstyle{x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)}</math>.</ref>. W tym celu należy wyznaczyć punkty, w których
: <math>F(x,y)=0, y^\prime=0, y^{\prime\prime}\neq 0</math>
Dwa ostatnie warunki równoważne są poniższym, tj.
== Rachunek wariacyjny ==
{{osobny artykuł|Rachunek wariacyjny}}
[[Plik:Braquistócrona.gif|thumb|260px|Na czerwono zaznaczono fragment [[cykloida|cykloidy]] – brachistochronę. [[Punkt materialny]] stacza się od punktu <math>\scriptstyle{A}</math> do punktu <math>\scriptstyle{B}</math> w najkrótszym czasie właśnie po tej krzywej.]]
Ważnymi obiektami matematycznymi są te [[funkcjonał]]y, które danej funkcji przypisują liczbę rzeczywistą, np. długość [[łuk krzywej|łuku]] jej wykresu. Przestrzeń funkcyjna jest przestrzenią unormowaną, opisywaną w jednej z wcześniejszych sekcji, jednak badanie ekstremów tych funkcjonałów jest szczególnie istotne ze względu na zastosowania w fizyce i technice – przykładowo jeśli funkcja będąca argumentem funkcjonału opisuje kształt [[śmigło|śmigła]] samolotu, a wartości funkcjonału opisują wydajność śmigła, to znalezienie globalnego maksimum jest równoważne wyliczeniu jaki kształt śmigła zapewni największą wydajność.
 
: <math>q_1(a), q_1(b), \ldots, q_n(a), q_n(b)</math>
Jest to problem z tzw. [[Zagadnienie brzegowe|ustalonym brzegiem]]. Okazuje się, że funkcje <math>q_i,</math> dla których funkcjonał <math>F</math> przyjmuje ekstremum, spełniają układ [[Równanie różniczkowe cząstkowe|równań różniczkowych cząstkowych]], zwanych '''równaniami Eulera-Lagrange’a''', postaci:
: <math>\frac{\partial L}{\partial q _{k}} - \frac{d}{dt} \left (\frac{\partial L}{\partial \dot{q} _{k}}\right ) = 0,\;\; 1\leqslant k \leqslant n</math>
gdzie
: <math>\dot{q} _{k}=\frac{dq_k}{dt}.</math>
# <math>X</math> i <math>Y</math> są [[przestrzeń Banacha|przestrzeniami Banacha]],
# <math>G\colon X\to Y</math> jest różniczkowalne w sposób ciągły w pewnym otoczeniu punktu <math>x_0\in X,</math>
# <math>x_0\in X</math> jest [[punkt regularny#Teoria różniczkowania|punktem regularnym]] zbioru <math>M=G^{-1}(\{0\}),</math>, tj. <math>G^\prime(x_0)</math> jest [[Funkcja „na”|suriekcją]] <math>X</math> na <math>Y,</math>
# <math>X_1:=(G^\prime(x_0))^{-1}(\{0\}),</math> to znaczy <math>X_1</math> jest [[Jądro (algebra)|jądrem]] <math>G^\prime(x_0),</math>
# <math>X=X_1\oplus X_2</math> (rozkład przestrzeni <math>X</math> na [[Podprzestrzeń komplementarna|topologiczną sumę prostą]]).
dla <math>k=1,2,\ldots, 2n-1</math> oraz odwzorowanie
: <math>\left(f^{(2n)}(x_0)-\Lambda\circ G^{(2n)}(x_0)\right)(h)</math>
jest dodatnio<ref>Uwaga: w tym wypadku pojęcie dodatniej (ujemnej) określoności zostaje rozszerzone na [[Przekształcenie wieloliniowe|funkcjonały ''n''-liniowe]], tj. powiemy że funkcjonał <math>\scriptstyle{n}</math>-liniowy <math>\scriptstyle{\varphi\colon X\times\ldots\times X\to \mathbb{R}}</math> jest dodatnio (ujemnie) określony, jeśli istnieje takie <math>\scriptstyle{c>0,}</math> że <math>\scriptstyle{\varphi(h,\ldots, h)\geqslant c\|h\|^n \; (\leqslant -c\|h\|^n)}</math> dla wszelkich <math>\scriptstyle{h\in X.}</math>.</ref> (ujemnie) określona dla <math>h\in X_1,</math> to funkcja <math>f</math> ma w punkcie <math>x_0</math> minimum (maksimum) warunkowe.
 
=== Ekstrema warunkowe w <math>\mathbb{R}^n</math> ===
Badanie ekstremów warunkowych przekształceń dowolnych przestrzeni Banacha jest rzeczą trudną. Już samo spełnienie założeń twierdzenia Lusternika może okazać się niemożliwe, gdyż nie każdą przestrzeń unormowaną da się rozłożyć na topologiczną sumę prostą jej podprzestrzeni<ref>Da się to zrobić w przypadku [[przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]] – [[twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym]] mówi, że dla każdej [[zbiór domknięty|domkniętej]] podprzestrzeni przestrzeni Hilberta istnieje [[dopełnienie ortogonalne]]. W szczególności, rozkład taki jest możliwy jeżeli <math>\scriptstyle{X}</math> jest przestrzenią skończenie wymiarową.</ref>. Duża część zagadnień praktycznych sprowadza się do badania ekstremów warunkowych w przypadku gdy <math>X=\mathbb{R}^n,\; Y=\mathbb{R}^m,\; n\geqslant m,</math> a odwzorowanie <math>G\colon \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m</math> reprezentowane jest przez układ <math>m</math> funkcji o <math>n</math> zmiennych, tj. <math>G=(G_1,\ldots, G_m).</math>
 
Szukanie ekstremów warunkowych funkcji <math>f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R},</math> będących zarazem punktami regularnymi<ref name="punktreg">Por. [[Punkt regularny#Szczególne przypadki|punkt regularny (szczególne przypadki)]].</ref>, sprowadza się do rozwiązania układu równań operatorowych
W praktyce, gdy <math>X=\mathbb{R}^2, Y=\mathbb{R}</math> wprowadzamy funkcję pomocniczą
: <math>F(x,y)=f(x,y)+\lambda G(x,y)</math>
i szukamy dla niej warunków koniecznych na istnienie jej ekstremów, jako funkcji dwóch zmiennych<ref>Por. ustęp [[ekstremum#Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny|Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny]].</ref>, tj. rozwiązaniu układu równań <math>F^\prime_x=0, F^\prime_y=0,</math>, a następnie wyrugowaniu z tego układu równań czynnika nieoznaczonego <math>\lambda.</math><br />Do otrzymanego warunku dołączamy warunek <math>G(x,y)=0.</math> Równoważnie, wszystkie punkty, które mogą być ekstremami warunkowymi można wyznaczyć z układu równań
: <math>\left\{\begin{array}{l}\frac{D(f,G)}{D(x,y)}=0\\G(x,y)=0\end{array}\right.</math>
gdzie <math>\tfrac{D(f,G)}{D(x,y)}</math> oznacza [[Macierz Jacobiego|jakobian]] funkcji <math>f</math> i <math>G.</math>
 
: <math>-\left(\frac{1}{\ln 2}+\log_2 p_k \right) + \lambda = 0,\;\; 1\leqslant k\leqslant n</math>
Z powyższego wynika, że wszystkie prawdopodobieństwa są równe, tj. <math>p_1=\ldots=p_n,</math>, a ponieważ ich suma jest równa jeden, wynika stąd, że dla dowolnego <math>1\leqslant k\leqslant n</math>:
: <math>p_k=\frac{1}{n}</math>
 
 
== Zobacz też ==
* [[twierdzenie Rolle’a]]
* [[twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)|twierdzenie Lagrange’a]]
* [[funkcje minimum i maksimum]]
* [[twierdzenie Lagrange’a (rachunek różniczkowy)|twierdzenie Lagrange’a]]
* [[twierdzenie Rolle’a]]
 
== Przypisy ==