Kula: Różnice pomiędzy wersjami

'''Kula''' w danej [[przestrzeń metryczna|przestrzeni metrycznej]] <math>(X,\rho)\,</math> – [[zbiór]] elementów tej przestrzeni, zdefiniowany jako:

: <math>\overline{K} _{o,r} = \{ p: \rho(p,o) \leqslant r \}</math>

dla pewnych <math>o\in X,\ r>0,\,</math> które nazywamy odpowiednio ''środkiem'' i ''promieniem kuli''.

W wielu źródłach<ref>{{Cytuj książkę | tytuł = Encyklopedia dla wszystkich. Matematyka | wydawca = Wydawnictwo Naukowo-Techniczne | miejsce = Warszawa | data = 2000 |strony=149 |isbn = 83-204-2334-1}} '''str. 149'''</ref><ref>{{Cytuj książkę | autor = Krzysztof Maurin | tytuł = Analiza. Cz. I Elementy | wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe | miejsce = Warszawa | data = 1976 | seria = Biblioteka Matematyczna Tom 38}} '''str. |strony=34, 38'''}}</ref><ref>{{Cytuj książkę | autor = Witold Kołodziej | tytuł = Wybrane rozdziały analizy matematycznej | wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe | miejsce = Warszawa | data = 1982 | seria = Biblioteka Matematyczna Tom 36}} '''str. |strony=20, 21'''}}</ref> tak zdefiniowany zbiór nazywany jest '''kulą domkniętą''' dla odróżnienia od zbioru określanego jako '''kula otwarta''' i definiowanego następująco:

: <math>{K} _{o,r} = \{ p: \rho(p,o) < r \}</math>

[[Plik:Ball with d r and o marked.svg|right|thumb|Kula w przestrzeni euklidesowej]]

Intuicyjnie rozumiana kula – w [[przestrzeń trójwymiarowa|przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej]] dla [[metrykaPrzestrzeń euklidesowa|metryki euklidesowej]] – jest to część przestrzeni, ograniczona [[sfera|sferą]] (sfera jest powierzchnią ([[Brzeg (matematyka)|brzegiem]]) kuli i również się w niej zawiera).

gdzie <math>(x_0,y_0,z_0)</math> są współrzędnymi '''środka kuli''', a <math>r\,</math> oznacza jej promień.

W <math>n\,</math>-wymiarowej przestrzeni euklidesowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o środku w punkcie <math>(s_1, s_2, \ldots, s_n)</math> i promieniu <math>r\,</math> to zbiór punktów <math>x=(x_1, x_2, \ldots, x_n),</math> których współrzędne spełniają nierówność:

Nietrudno zauważyć, że w dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej kulą jest [[koło (geometria)|koło]], zaś w jednowymiarowej – [[odcinek]].

[[Plik:Ball taxi metric.svg|thumb|250px|Kula o środku ''P''(2; 1,5) i promieniu ''r''=1 w [[metrykaPrzestrzeń miejskametryczna|metryce miejskiej]] na zbiorze <math>\Bbbmathbb{R}^2.</math>.]]

Dla innych metryk kula wyglądać będzie inaczej. Przykładowo, w przestrzeni <math>\Bbbmathbb{R}^2</math> o [[metrykaPrzestrzeń miejskametryczna|metryce miejskiej]] do kuli należą punkty, spełniające nierówność:

'''[[Koło wielkie]]''' kuli to [[koło (geometria)|koło]] o promieniu tej kuli, o środku w środku kuli.

\begin{cases} \displaystyle \frac{\pi^k\over }{k!}\cdot r^n & \mbox{dla }n=2k, \\[2ex]

\displaystyle \frac{2^k \pi^{k-1}\over }{n!!}\cdot r^n & \mbox{dla } n=2k-1,

* "Pole"„Pole” (''n''−1)-wymiarowe jej (hiper)powierzchni <math>S_n = \frac n r \, V_n.</math>

W powyższych wzorach <math>\pi \approx 3{,}14159265</math> jest jedną z najsłynniejszych [[Lista stałych matematycznych|stałych matematycznych]], szerzej opisaną w artykule [[Pi]], zaś <math>\Gamma\,</math> oznacza [[funkcja Γ|funkcję gamma]].

* [[Hiperkulahiperkula]]

* [[Warstwawarstwa kulista]]

* [[Wycinekwycinek kuli]]

* [[Ziemiaziemia|Kulakula ziemska]]