Wikipedia

Silnia: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja przejrzana][wersja przejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
m drobne techniczne
Linia 46:
| 20 || 2 432 902 008 176 640 000
|-
| 25 || ∼1,551 121 004 '''·''' 10<sup>25</sup>
|-
| 50 || ~3,041 409 32 '''·''' 10<sup>64</sup>
|-
| 70 || ~1,197 857 167 '''·''' 10<sup>100</sup>
|-
| 100 || ~9,332 621 544 '''·''' 10<sup>157</sup>
|-
| 450 || ~1,733 368 733 '''·''' 10<sup>1000</sup>
|-
| 1000 || ~4,023 872 601 '''·''' 10<sup>2567</sup>
|-
| 10 000 || ~2,846 259 681 '''·''' 10<sup>35 659</sup>
|-
| 100 000 || ~2,824 229 408 '''·''' 10<sup>456 573</sup>
|-
| 1 000 000 || ~8,263 931 688 '''·''' 10<sup>5 565 708</sup>
|-
| 10 000 000 || ~1,202 423 401 '''·''' 10<sup>65 657 059</sup>
|-
|[[googol|10<sup>100</sup>]] || ~10<sup>9,956 570 552 '''·''' [[Googolplex|10<sup>101</sup>]]</sup>
|}
[[Plik:Log-factorial.svg|thumb|250px|Wykres [[logarytm naturalny|logarytmu naturalnego]] silni '''ln(''x''!)''']]
'''Silnia [[liczby naturalne]]j''' '''''n''''' – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż ''n''. Oznaczenie ''n''! dla silni wprowadził w [[1808]] roku [[Christian Kramp]]. Zapis ''n''!, 2! itd. odczytujemy „''n''„n silnia”, „dwa silnia” itd.
 
Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiajace się w różnych działach matematyki od [[Analiza matematyczna|analizy matematycznej]] (np. mianownik każdego składnika [[wzór Taylora|wzoru Taylora]] ma postać ''k''!) przez geometrię ''n''-wymiarową (np. stosunek miary ''n''-wymiarowego [[Równoległościan wielowymiarowy|równoległościanu]] do miary [[Sympleks (matematyka)|sympleksu]] rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy ''n''!), na [[kombinatoryka|kombinatoryce]] skończywszy (np. liczba wszystkich [[permutacja|permutacji]] zbioru ''n''-elementowego jest równa ''n''!).
 
Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę ''factorion''. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585<ref>{{Cytuj stronę | url = http://mathworld.wolfram.com/Factorion.html | tytuł = Factorion | data dostępu = 2017-05-25 | opublikowany = mathworld.wolfram.com | język = en |data dostępu = 2017-05-25}}</ref>.
 
== Definicja formalna ==
Funkcję <math>\cdot\; !\colon \mathbb{N}_{0}_0 \to \mathbb{N}_{+}</math> definiuje się następująco:
: <math>n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{dla }n\geqslant1</math>
 
Linia 98:
 
Wynika z niego także postać logarytmu silni:
: <math>\ln n! \approx n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln (2\pi n) \ </math>
 
Przydatne jest również oszacowanie:
: <math>n!=o(n^n) \ </math>
 
Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:
Linia 115:
 
Ponieważ Γ(1)=1, więc z powyższego wynika
: <math>\Gamma(n+1)=n! </math>
 
dla wszystkich [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]] ''n''.
Linia 126:
Rekurencyjna definicja silni podwójnej:
: <math>n!!=\begin{cases}
1 & \mbox{ dla }n=0\mbox{ lub }n=1 \\
n\cdot(n-2)!! & \mbox{ dla }n\geqslant 2
\end{cases}</math>
Linia 137:
: <math>n!=n!!(n-1)!!</math>
: <math>(2n)!!=2^nn!</math>
: <math>(2n+1)!!=\frac{(2n+1)!\over}{(2n)!!}=\frac{(2n+1)!\over2}{2^nn!}</math>
 
zależność od funkcji gamma:
: <math>\Gamma\left(n+\frac{1\over2}{2}\right)=\sqrt\pi\frac{(2n-1)!!\over2}{2^n}\,\!</math>
 
=== Silnia wielokrotna ===
Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną ''n''!!! oraz ogólnie silnie ''k''-tą, którą oznaczamy jako ''n''!<sup>(''k'')</sup>. Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:
: <math>n!^{(k)}=\begin{cases}
1 & \mbox{ gdy } n=0 \\
n & \mbox{ gdy }0<n\leq k \\
n\cdot(n-k)!^{(k)} & \mbox{ gdy }n > k
\end{cases}</math>
Linia 153:
=== Lemat ===
Jeżeli liczba <math>n!</math> rozkłada się na czynniki pierwsze:
: <math>n!=\prod_{i=1}^{k}p_{i} p_i^{ \alpha_{i}alpha_i }=p_{1}p_1^{ \alpha_{1}alpha_1 } \cdot p_{2}p_2^{ \alpha_{2}alpha_2 } \cdot \ldots \cdot p_{k}p_k^{ \alpha_{k}alpha_k },</math>,
 
to
: <math>\mbox{ord}_{p_i}(n!) = \sum_{j=1}^{ \left\lfloor \log_{p_{i}p_i}n\right\rfloor } \left\lfloor \frac{n}{p_{i}p_i^{j}} \right\rfloor</math>
 
tzn. liczba pierwsza <math>p_{i}p_i</math> pojawia się z wykładnikiem:
: <math>\alpha_{i}alpha_i = \sum_{j=1}^{ \left\lfloor \log_{p_{i}p_i}n\right\rfloor } \left\lfloor \frac{n}{p_{i}p_i^{j}} \right\rfloor</math>
 
gdzie <math>\lfloor x \rfloor</math> oznacza [[Podłoga i sufit|część całkowitą]] liczby <math>x.</math>.
 
== Problem ustalenia liczby zer na końcu zapisu dziesiętnego silni ==
Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym ''n''!, przy czym ''n'' jest [[liczby naturalne|liczbą naturalną]], można ustalić na podstawie wzoru
: <math>f(n) = \sum_{i=1}^k \left \lfloor \frac{n}{5^i} \right \rfloor =
\left \lfloor \frac{n}{5^1} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{5^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{5^3} \right \rfloor + \cdots + \left \lfloor \frac{n}{5^k} \right \rfloor,</math>
 
gdzie ''k'' musi spełniać warunek
 
: <math>5^{k} \leq n < 5^{k+1},\,</math>
 
Na przykład: 5<sup>3</sup>³ > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się
: <math>\left \lfloor \frac{26}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{26}{5^2} \right \rfloor = 5 + 1 = 6\,</math> zerami. Jeżeli ''n'' < 5, nierówności są spełnione przez ''k'' = 0; w tym wypadku suma ta daje wynik 0.
 
== Zobacz też ==
Linia 182:
* [[symbol Newtona]]
* [[Wariacja bez powtórzeń|wariacja]]
 
== Przypisy ==▼
{{Przypisy}}▼
 
== Bibliografia ==
Linia 192 ⟶ 195:
* [http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html Silnia] {{lang|en}} w encyklopedii [[MathWorld]]
* http://factorielle.free.fr {{lang|en|fr|cs}}
 
▲== Przypisy ==
▲{{Przypisy}}
 
[[Kategoria:Arytmetyka]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Silnia”