Całkowanie przez podstawienie: Różnice pomiędzy wersjami

* Funkcja <math>\psi(x)</math> jest [[różniczkowalnośćFunkcja różniczkowalna|różniczkowalna]] w <math>D</math>

* Funkcja <math>g(x)</math> ma [[funkcja pierwotna|funkcję pierwotną]] w przedziale <math>I,</math>, tzn. <math>G'(t) = g(t)</math> dla <math>t</math> należących do <math>I</math>

: <math>\int f(x) dx = \int g(\psi(x)) \cdot \psi'(x) dx = G(\psi(x)) + C</math>

: <math>\int f(g(x)) g^{\prime}(x) dx,</math>,

: <math>\int f(g(x)) dg(x).</math>.

Założenia:

* <math>g'(x) \ne 0</math> dla każdego <math>x</math> z przedziału <math>(a; b).</math>.

* Obraz funkcji <math>g</math> zawiera się w dziedzinie funkcji <math>f.</math>.

: <math>\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(x)dx = \int\limits_{a}limits_a^{b} f(g(t)) \cdot g'(t)dt</math>

* Obliczając całkę <math>\int \frac{\ln(x)}{x} dx,</math>, zastosować można podstawienie <math>\ln(x) = t,</math>, tzn. <math>\tfrac{dx}{x} = dt,</math>, więc:

: <math>\int \frac{\ln(x)}{x} dx = \int t\ dt = \tfrac12 t^2 + C = \tfrac12 \ln^2(x) + C.</math>.

: <math>\int \sin (2x + 3) dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x + 3) \cdot 2 dx = \frac{1}{2} \int \sin (2x + 3) \cdot d(2x + 3) = - \frac{1}{2} \cos (2x + 3) + C.</math>.

Całkując [[funkcja wymierna|funkcje wymierne]] [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]] (czyli funkcje postaci <math>R(\sin x, \cos x) </math>) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:

* W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne <math>t = \operatorname{tg}\frac{x \over }{2}.</math>. Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.

* Jeśli funkcja jest [[funkcjaFunkcje nieparzystaparzyste i nieparzyste|nieparzysta]] ze względu na [[Funkcje trygonometryczne|sinus]] (<math>R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)</math>), stosuje się podstawienie <math>t = \cos x</math>

* Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na [[Funkcje trygonometryczne|cosinus]] (<math>R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x)</math>), stosuje się podstawienie <math>t = \sin x</math>

* Jeśli funkcja jest [[funkcjaFunkcje parzystaparzyste i nieparzyste|parzysta]] ze względu na sinus i cosinus równocześnie (<math>R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x)</math>), stosuje się podstawienie <math>t = \operatorname{tg}x</math>

: <math>t = \operatorname{tg}\frac{x \over }{2}</math>

: <math>\frac{x \over }{2}=\operatorname{arctg}t</math>

: <math>dx = \frac{2 \over }{1+t^2}dt</math>

: <math>\sin x = \frac{2 \sin \frac{x \over }{2} \cos \frac{x \over }{2}}{\sin^2 \frac{x \over }{2} + \cos^2 \frac{x \over }{2}} = \frac{2 \frac{\sin \frac{x \over }{2}}{\cos \frac{x \over }{2}}}{\frac {\sin^2 \frac{x \over }{2}}{\cos^2 \frac{x \over }{2}}+1} = \frac{2t}{t^2+1}</math>

: <math>\cos x = \frac{\cos^2 \frac{x \over }{2} - \sin^2 \frac{x \over }{2}}{\cos^2 \frac{x \over }{2} + \sin^2 \frac{x \over }{2}} = \frac{1-\frac{\sin^2 \frac{x \over }{2}}{\cos^2 \frac{x \over }{2}}}{1+\frac{\sin^2 \frac{x \over }{2}}{\cos^2 \frac{x \over }{2}}} = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math>

W przypadku podstawienia <math>t = \operatorname{tg}x</math> mamy dla funkcji postaci <math>R(\sin ^2 x, \cos ^2 x, \sin x \cos x)</math>:

: <math>x = \operatorname{arctg}t,</math>, <math>dx=\frac{dt}{1+t^2}</math>

: <math>\sin ^2 x = \frac{\sin ^2 x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x}= \frac{t^2}{t^2 + 1}</math>

: <math>\cos ^2 x = \frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} = \frac{1}{t^2 + 1}</math>

: <math>\sin x \cos x= \frac{\sin x \cos x}{\sin ^2 x + \cos ^2 x} \cdot \frac{\cos ^2 x}{\cos ^2 x} = \frac{t}{t^2 + 1}</math>

: <math>\int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}dt}{1+\frac{2t}{t^2+1}+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \int \frac{2dt}{1+t^2+2t+1-t^2} = </math>

: <math> = \int \frac{dt}{t+1} = \ln |t+1|+C = \ln |\operatorname{tg}\frac{x \over }{2} + 1|+C</math>

Podstawienia [[Leonhard Euler|Eulera]] stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci <math>R(\sqrt{ax^2+bx+c}, x),</math>, gdzie R jest [[funkcja wymierna|funkcją wymierną]].

I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}\;x.</math>. Wobec tego otrzymuje się:

: <math>ax^2+bx+c=ax^2-2\sqrt{a}\;x\;t+t^2 \implies x(b+2\sqrt{a}\;t)=t^2-c \implies x=\frac{t^2-c}{b+2\sqrt{a}\;t},</math>,

: <math>dx=\frac{2t(b+2\sqrt{a}\;t)-2\sqrt{a}\;(t^2-c)}{(b+2\sqrt{a}\;t)^2}dt.</math>.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\;\frac{c-t^2}{b+2\sqrt{a}\;t}+t.</math>.

: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}.</math>.

: <math>ax^2+bx+c=x^2t^2+2\sqrt{c}xt+c \implies ax+b=xt^2+2\sqrt{c}t \implies x(a-t^2)=2\sqrt{c}t-b \implies x=\frac{2\sqrt{c}t-b}{a-t^2},</math>,

: <math>dx=\frac{2\sqrt{c}(a-t^2)+2t(2\sqrt{c}t-b)}{(a-t^2)^2}dt.</math>.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\frac{2\sqrt{c}t^2-bt}{a-t^2}+\sqrt{c}.</math>.

Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:

: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=(x-\alpha)t-\sqrt{\lambda}.</math>.

Wtedy gdy <math> (a>0) \vee (b^2-4ac>0),</math>, to da się tak dobrać <math>\alpha,</math>, aby <math>\lambda>0.</math>.

III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₀, x₁ trójmianu <math>ax^2+bx+c.</math>. Przyjmuje się wtedy:

: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a(x-x_0)(x-x_1)}=t(x-x_1).</math>. Stąd:

: <math>(x-x_1)t^2=a(x-x_0) \implies x(t^2-a)=t^2x_1-ax_0 \implies x=\frac{t^2x_1-ax_0}{t^2-a},</math>,

: <math>dx=\frac{2ta(x_0-x_1)}{(t^2-a)^2}dt.</math>.

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi: <math>\sqrt{ax^2+bx+c}=t\left( \frac{t^2x_1-ax_0}{t^2-a}-x_1\right) .</math>.

[[forma różniczkowa|Różniczka dwumienna]] jest to wyrażenie postaci: <math>x^m(a+bx^n)^pdx,</math>, gdzie <math>a</math> i <math>b</math> są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz <math>m, n</math> i <math>p</math> są pewnymi [[liczby wymierne|liczbami wymiernymi]]. Niech ponadto <math>p = \frac{q}{r},</math>, gdzie <math>q, r</math> są liczbami [[liczby całkowite|całkowitymi]]. Twierdzenie [[Pafnutij CzebyszewCzebyszow|Czebyszewa]] mówi, iż całkę

: <math>\int x^m(a+bx^n)^p~dx</math>

* gdy <math>\frac{m+1}{n}</math> jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie <math>t=\sqrt[r]{a+bx^n}.</math>.

* gdy <math>\frac{m+1}{n}+p</math> jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie <math>t=\sqrt[r]{\frac{a+bx^n}{x^n}}.</math>.

* <math>\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})dx</math> -– podstawiamy <math>x = a \operatorname{sinh} t</math> lub <math>x = a \operatorname{tan} t</math>

* <math>\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})dx</math> -– podstawiamy <math>x = a \operatorname{cosh} t</math> lub <math>x = a \operatorname{sec} t</math>

* <math>\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx</math> -– podstawiamy <math>\ x = a \tanh t</math> lub <math>\ x = a \sin t</math>

* Całki typu <math>\int R(e^x)dx</math> obliczamy przez podstawienie <math>\ e^x = t.</math>. Stąd: <math>\ x = \ln{t}, \quad dx = \frac{dt}{t}.</math>.

* Całki typu <math>\int R\left(x, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_1}, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_2}, \cdots, \left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^{p_n}\right)dx,</math>, gdzie p₁, p₂, ..., p_n są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając <math>\frac{ax+b}{cx+d} = t^k,</math>, gdzie k jest [[Najmniejsza wspólna wielokrotność|najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb]] p₁, p₂, ..., p_n.