Rozmaitość pseudoriemannowska: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Dodano rozdziały "Sygnatura metryki" oraz definicję rozmaitości pseudoriemannowskiej. |
|||
Linia 1:
{{Ogólna teoria względności}}
'''Rozmaitość''' '''pseudoriemannowska (przestrzeń pseudoriemannowska)''' – uogólnienie [[rozmaitość riemannowska|rozmaitości riemannowskiej]]: [[tensor metryczny]] może tu być zarówno [[Forma dwuliniowa|określony dodatnio]] jak i ujemnie. Każda przestrzeń lokalnie styczna do rozmaitości pseudoriemannowskiej jest [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzenią pseudoeuklidesową]] opisaną przez '''izotropową [[Forma kwadratowa|formę kwadratową]].'''
'''Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska [[Bernhard Riemann|Bernharda Riemanna]].'''
== Sygnatura metryki ==
W ''n''-wymiarowej rozmaitości tensor metryczny <math>g_{\mu \nu}</math> określony w układzie [[Współrzędne krzywoliniowe|ortogonalnych współrzędnych krzywoliniowych]] ma współrzędne niezerowe tylko na diagonali, przy czym liczba dodatnich, ujemnych oraz zerowych współrzędnych <math>g_{\mu \nu}</math> tensora jest niezależna od wyboru ortogonalnego układu współrzędnych (tzw. prawo Sylvestra). Liczby te tworzą tzw. sygnaturę <math>(p, q, r)</math> tensora metrycznego.
Tensor nazywa się '''zdegenerowanym''', jeżeli <math>r>0</math>.
Tensor nazywa się '''niezdegenerowanym''', jeżeli <math>r=0</math> - wtedy jego sygnaturę zapisuje się w postaci <math>(p, q)</math>.
== Definicja ==
Rozmaitością '''pseudoriemannowską''' <math>(M,g)</math> nazywa się rozmaitość różniczkową <math>M</math>, w której zdefiniowano niezdegenerowany, gładki, symetryczny tensor metryczny <math>g</math>, o sygnaturze <math>(p,q)</math>, gdzie obie liczby <math>p</math> oraz <math>q</math> są nieujemne.
Metryka definiowana przez ten tensor nazywana jest metryką pseudoriemannowską: przypisuje on wektorom wartości dodatnie, zerowe i ujemna.
== Przykłady ==
('''1''') Przykładem 4-wymiarowej przestrzeni pseudoeuklidesowej (będącej płaską wersją przestrzeni pseudoriemannowskiej) jest [[przestrzeń Minkowskiego]]. Przestrzeń ta stanowi podstawę matematycznego opisu [[czasoprzestrzeń|czasoprzestrzeni]] w [[Szczególna teoria względności|szczególnej teorii względności]]).
('''2''') Czasoprzestrzeń modelowana za pomocą 4-wymiarowej '''rozmaitości lorentzowskiej''' (będącej zakrzywioną rozmaitością pseudoriemannowską) występuje w [[ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]].
W 4-wymiarowej rozmaitości lorentzowskiej wymiar czasowy ma przeciwny znak do wymiarów przestrzennych. Różnica w znakach wynika z niezmienniczości prędkości światła względem dowolnego układu odniesienia.
Na skutek różnic w znakach wektory w czasoprzestrzeni nie mają miary dodatniej lub zerowej (jak to jest w przestrzeniach euklidesowych i ogólnie - w rozmaitościach riemannowskich), ale mają miary dodatnie (tzw. wektory czasopdobne), zerowe (tzw. wektory zerowe ) oraz ujemne (tzw. wektory przestrzennopodobne).
== Zobacz też ==
* [[rozmaitość]]
* [[rozmaitość topologiczna]]
| |||