Równanie przewodnictwa cieplnego: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy |
|||
Linia 1:
[[Plik:Heat eqn.gif
[[
'''Równanie przewodnictwa cieplnego''' – [[równanie różniczkowe cząstkowe]], opisujące przepływ [[ciepło|ciepła]] przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych [[Zagadnienie brzegowe|warunkach brzegowych]]. Równanie ma postać:
:: <math>\begin{cases}
\frac{\partial}{\partial t}u - \triangle_x u = 0, & x \in \mathbb{R}^n, t \in \mathbb{R}_+ \\
\end{cases}</math>▼
gdzie <math>g(x)</math>
▲gdzie <math>g(x)</math> - początkowy rozkład temperatury w przestrzeni, <math>u(x,t)</math> - szukana zależność rozkładu temperatury w przestrzeni w chwili [[czas]]u <math>t</math>
== Rozwiązanie równania przewodnictwa ==
Poszukujemy rozwiązań w klasie [[funkcja regularna|regularności]] <math>u \in C^2(\mathbb{R}^n \times [0, +\infty)) \cap C^0(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty))
'''Rozwiązaniem podstawowym''' równania przewodnictwa cieplnego jest:
:: <math>E(x,t) = (4\pi t)^{-n/2} \exp\left(\frac{-|x|^2}{4t}\right).</math>▼
▲E(x,t) = (4\pi t)^{-n/2} \exp\left(\frac{-|x|^2}{4t}\right)
Można sprawdzić, że spełnia ono:
* <math>\int\limits_{\mathbb{R}^n}{E(x,t)dx} = 1,</math>
* <math>E_t - \triangle_x E = 0.</math>
Jeśli funkcja <math>g</math> jest ciągła i ograniczona to funkcja
:: <math>u(x,t) = \begin{cases}\int\limits_{\mathbb{R}^n}{g(y)E(x-y,t)dy},& t>0 \
jest rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego, jest ograniczone i jest dodatkowo klasy <math>C^
\int\limits_{\mathbb{R}^n}{g(y)E(x-y,t)dy},& t>0 \\▼
▲\end{cases}</math>
▲jest rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego, jest ograniczone i jest dodatkowo klasy <math>C^{\infty}(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty)) \cap C^0(\mathbb{R}^n \times [0, +\infty))</math>.
Używając pojęcia [[Splot (matematyka)|splotu]] można napisać:
:: <math>u(x, t) = g(\cdot) * E(x-\cdot, t).</math>
== Nieskończenie szybkie rozchodzenie się ciepła ==
Przypuśćmy, że <math>g</math> ma zwarty nośnik i na pewnej kuli B jest <math>
▲u(x,t) = \int\limits_{\mathbb{R}^n}{g(y)E(x-y,t)} \ge 0
dla każdego <math>x\in\mathbb{R}^n, t > 0.</math> Zatem ciepło dochodzi w dowolnie małym czasie do każego punktu przestrzeni, czyli rozchodzi się nieskończenie szybko. Tak oczywiście w rzeczywistości nie jest, dlatego też czasami używa się zaburzonego równania przewodnictwa cieplnego. Do równania wprowadza się wtedy parametr τ będący [[czas relaksacji|czasem relaksacji]], na podstawie którego można wyznaczyć prędkość propagacji fali cieplnej<ref>{{Cytuj książkę
▲rozchodzi się nieskończenie szybko. Tak oczywiście w rzeczywistości nie jest, dlatego też czasami używa się zaburzonego równania przewodnictwa cieplnego. Do równania wprowadza się wtedy parametr τ będący [[czas relaksacji|czasem relaksacji]], na podstawie którego można wyznaczyć prędkość propagacji fali cieplnej<ref>{{Cytuj książkę | nazwisko = Taler | imię = Jan | tytuł = Solving direct and inverse heat conduction problems | data = 2006 | wydawca = Springer | miejsce = Berlin | isbn = 978-3-540-33470-5 | strony = 17}}</ref>:
▲:: <math>v = \sqrt{D \over \tau}</math>
gdzie ''D'' to [[Współczynnik wyrównania temperatur|dyfuzyjność cieplna]].
Wartość τ jest bardzo mała i wynosi np. 10<sup>−11</sup> s dla [[Glin|aluminium]], 10<sup>−6</sup> s dla ciekłego [[Hel (pierwiastek)|helu]]. W przypadku ciekłego helu współczynnik dyfuzji wynosi 10 m
== Zasada maksimum dla równania przewodnictwa ciepła ==
Niech <math>T>0</math> ustalony czas, oraz <math>u(x,t)</math> ograniczona funkcja, będąca rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego. Oznaczmy <math>\Omega=\mathbb{R}^n \times [0, T]</math> oraz <math>\Omega_0 = \mathbb{R}^n \times {0}.</math>
* <math>\sup_
* <math>\inf_
Zasadę maksimum można interpretować fizycznie następująco: w momencie <math>t=0</math> przyjmowana jest największa i najmniejsza wartość temperatury, potem temperatura będzie się stabilizować i
== Wyprowadzenie równania przewodnictwa ==
Interpretujemy funkcję <math>u(x, t)</math> jako temperaturę w punkcie przestrzeni x w momencie t. Zakładamy, że ciepło <math>J(x, t)</math> ucieka z najcieplejszego do najzimniejszego miejsca, tj. w kierunku przeciwnym do gradientu temperatury.
:: <math>J(x, t) = -k \cdot \triangledown_x{u}.</math>▼
▲:: <math>J(x, t) = -k \cdot \triangledown_x{u}</math>
Ponadto zakładamy, że każdy obszar V ogrzewa się proporcojnalnie do ilości ciepła, która do niego wpłynęła:
:: <math>\int\
A z twierdzenie [[Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa|Gaussa]]:
:: <math>\int\
gdzie <math>J \circ n = \frac{\partial J}{\partial n}</math> oznacza [[pochodna normalna|pochodną normalną]] funkcji. Zatem dostajemy:
:: <math>\int\
Z dowolności <math>V</math> mamy:
:: <math>\frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div} J = 0,</math>
czyli:
:: <math>\frac{\partial u}{\partial t} - k \triangle_x{u} = 0.</math>
== Poprawność zagadnienia ==
W ogólności, tzn. dla dowolnie wybranej funkcji <math>g,</math>
W klasie ograniczonych rozwiązań równania, tj. <math>u \in C^2(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty)) \cap C^0(\mathbb{R}^n \times (0, +\infty) \cap L^
== Zobacz też ==
* [[
* [[
* [[
== Przypisy ==
| |||