Miara Lebesgue’a: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy |
|||
Linia 1:
{{spis treści}}
'''Miara Lebesgue’a''' (czyt. „lebega”) – pojęcie [[teoria miary|teorii miary]] uogólniające pojęcia długości, [[pole powierzchni|pola powierzchni]] i [[objętość (matematyka)|objętości]] (np. wg [[Miara Jordana|Jordana]]). Historycznie pojęcie [[miara (matematyka)|miary]] (nazywanej dziś ''miarą Lebesgue’a'') pochodzi z pracy [[Henri Lebesgue|Henriego Lebesgue’a]]<ref>{{cytuj pismo
Miara Lebesgue’a to jedyna [[miara zupełna|zupełna]], [[miara wewnętrznie regularna|wewnętrznie regularna]] i niezmiennicza na przesunięcia (zob. [[#Własności|''Własności'']]) [[miara borelowska]] (określona na [[Przestrzeń mierzalna|σ-ciele]] zawierającym wszystkie [[zbiór otwarty|otwarte podzbiory]] przestrzeni), w której (jednostkowa) [[przedział wielowymiarowy|kostka wielowymiarowa]] ma miarę jednostkową.
Rodzina podzbiorów [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]], dla których sensowne jest określenie miary Lebesgue’a, nie może być opisana w sposób jawny. Elementy tej rodziny tworzą [[Przestrzeń mierzalna|σ-ciało]] nazywane ''σ-ciałem zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a''. Ewentualne istnienie zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue’a ma podłoże [[teoria mnogości|teoriomnogościowe]]. Mówiąc wprost, zależy to od przyjętego rozszerzenia [[aksjomaty Zermela-Fraenkla|aksjomatyki Zermela-Fraenkla]] (zob. ''[[#Zbiory niemierzalne|Zbiory niemierzalne]]'').
== Motywacja ==
Linia 21 ⟶ 20:
Niech <math>d</math> będzie ustaloną dodatnią [[liczby całkowite|liczbą całkowitą]]. '''''d''-wymiarową objętością''' <math>d</math>-wymiarowego [[przedział wielowymiarowy|przedziału]]
: <math>P = [a_1, b_1]\times [a_2, b_2] \times \ldots \times [a_d, b_d]</math>
gdzie <math>b_i \geqslant a_i,</math> nazywana jest liczba
: <math>\operatorname{vol}_d(P) = (b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot\ldots \cdot (b_d-a_d).</math>
Linia 26:
Dla dowolnego zbioru <math>A \subseteq \mathbb R^d</math> można skonstruować [[miara zewnętrzna|miarę zewnętrzną]] <math>\lambda^*(A)</math> wyznaczoną przez funkcję <math>\rm{vol}_d,</math> nazywaną '''miarę zewnętrzną Lebesgue’a''':
: <math>\inf\Bigg\{\sum_{B\in \mathcal C} \operatorname{vol}_d(B)\colon \mathcal{C}</math> jest [[zbiór przeliczalny|przeliczalnym zbiorem]] przedziałów, których [[suma zbiorów|suma]] [[pokrycie zbioru|pokrywa]] <math>A\Bigg\}.</math>
O zbiorze <math>A</math> mówi się, że jest '''mierzalny w sensie Lebesgue’a''', jeżeli jest on [[miara zewnętrzna#Twierdzenie Carathéodory'ego|mierzalny w sensie Carathéodory’ego]] (spełnia ''warunek Carathéodory’ego'') względem <math>\lambda^*,</math>
: <math>\lambda^*(S) = \lambda^*(S \cap A) + \lambda^*\
Z [[Twierdzenie Carathéodory’ego (teoria miary)|twierdzenia Carathéodory’ego]] wynika, że <math>\lambda^*</math> obcięta do rodziny zbiorów spełniających warunek Carathéodory’ego jest [[miara zupełna|miarą zupełną]] – miara ta nazywana jest miarą Lebesgue’a w przestrzeni <math>\mathbb R^d.</math>
Linia 46 ⟶ 48:
* jeżeli <math>A</math> jest [[suma zbiorów|sumą]] [[zbiór przeliczalny|przeliczalnie wielu]] rozłącznych podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, to <math>A</math> też jest mierzalny w sensie Lebesgue’a i <math>\lambda(A)</math> jest równa sumie (skończonej bądź [[szereg (matematyka)|nieskończonej]]) miar tych zbiorów mierzalnych;
* jeżeli <math>A</math> oraz <math>B</math> są zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue’a, przy czym <math>A</math> jest podzbiorem <math>B,</math> to <math>\lambda(A) \leqslant \lambda(B)</math> (konsekwencja trzech powyższych);
* przeliczalne sumy oraz [[Część wspólna|przekroje]] zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a są mierzalne w sensie Lebesgue’a; nie wynika to z powyższych własności, gdyż rodzina zamknięta ze względu na dopełnienia i przeliczalne sumy ''rozłączne'' nie musi być zamknięta ze względu na przeliczalne sumy: <math>\
Z konstrukcji:
Linia 60 ⟶ 62:
Dla dowolnego zbioru <math>A \subset \mathbb R</math> prawdziwe są zdania:
* dla [[zbiór miary zero|prawie wszystkich]] <math>x \in A</math>
*: <math>\lim_{k \to 0^+} \frac{\lambda^*\
* jeżeli <math>A</math> jest mierzalny, to dla prawie wszystkich <math>x \notin A</math>
*: <math>\lim_{k \to 0^+} \frac{\lambda^*\
Są to jednowymiarowe wersje [[Twierdzenie Lebesgue’a o punktach gęstości|twierdzenia Lebesgue’a o punktach gęstości]].
== Zbiory niemierzalne ==
Pod założeniem [[aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]] istnieją niemierzalne podzbiory prostej. [[Giuseppe Vitali]] udowodnił w 1905 roku<ref>{{cytuj pismo|nazwisko=Vitali|imię=Giuseppe|autor link=Giuseppe Vitali
; Twierdzenie ([[Wacław Sierpiński|Sierpiński]], [[1920]])
Linia 79 ⟶ 81:
[[Stefan Banach]] rozważał problem możliwości rozszerzenia miary Lebesgue’a do rodziny wszystkich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych bądź znalezienia miary, która zachowa pewne własności miary Lebesgue’a i będzie określona dla każdego podzbioru prostej. W szczególności Banach zadał następujące pytanie{{fakt|data=2011-06}}:
: Czy istnieje przeliczalnie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory <math>\mathbb R</math> znikająca na punktach, tzn. taka, że miara zbioru jednoelementowego jest 0?
W [[1929]] wraz z [[Kazimierz Kuratowski|Kazimierzem Kuratowskim]] wykazał on, że przy założeniu [[hipoteza continuum|hipotezy continuum]] taka miara nie istnieje<ref>[[Stefan Banach]], [[Kazimierz Kuratowski]]: ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or1/or1122.pdf Sur une généralisation du probleme de la mesure]''. „[[Fundamenta Mathematicae]]” 14 (1929), s. 127-131.</ref>. Z drugiej strony, [[Stanisław Ulam]] udowodnił na gruncie teorii ZF z aksjomatem wyboru, że jeżeli istnieje [[liczba mierzalna|liczba rzeczywiście mierzalna]], to istnieje również przedłużenie miary Lebesgue’a do miary określonej na rodzinie wszystkich podzbiorów prostej<ref name=Ulam>{{cytuj pismo |nazwisko =Ulam |imię =Stanisław|autor link=Stanisław Ulam|tytuł =Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre |czasopismo = [[Fundamenta Mathematicae]] |numer =16 |wydanie = |strony =140-150 |rok=1930|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm16/fm16114.pdf}}▼
▲W [[1929]] wraz z [[Kazimierz Kuratowski|Kazimierzem Kuratowskim]] wykazał on, że przy założeniu [[hipoteza continuum|hipotezy continuum]] taka miara nie istnieje<ref>[[Stefan Banach]], [[Kazimierz Kuratowski]]: ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or1/or1122.pdf Sur une généralisation du probleme de la mesure]''. „[[Fundamenta Mathematicae]]” 14 (1929), s.
[[Robert M. Solovay]]<ref>[[Robert M. Solovay]]: ''Real-valued measurable cardinals''. „Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967)”, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, s. 397-428.</ref> udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna, to pewne [[pojęcie forsingu]] <math>\mathbb P</math> [[forsing|forsuje]] pozytywną odpowiedź na pytanie Banacha (tzn. istnienie odpowiedniej miary). Ponadto wykazał on że jeżeli teoria mnogości ZF jest [[niesprzeczność|niesprzeczna]], to ma ona [[struktura matematyczna|model]], w którym wszystkie podzbiory prostej są ''mierzalne w sensie Lebesgue’a''<ref name=Solovay>[[Robert M. Solovay|Solovay, Robert M.]] ''[http://www.jstor.org/stable/1970696 A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable]''. „Annals of Mathematics” 92 (1970) s. 1-56.</ref>.▼
▲[[Robert M. Solovay]]<ref>[[Robert M. Solovay]]: ''Real-valued measurable cardinals''. „Axiomatic set theory (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XIII, Part I, Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967)”, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1971, s.
Bez aksjomatu wyboru nie można udowodnić istnienia zbiorów niemierzalnych i przy pewnych alternatywnych założeniach wszystkie podzbiory prostej mogą być mierzalne. W [[1962]] polscy matematycy [[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]] i [[Hugo Steinhaus]]<ref>[[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]], [[Hugo Steinhaus]]: ''A mathematical axiom contradicting the axiom of choice''. „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s. 1-3.</ref> zaproponowali badania [[Aksjomat determinacji|aksjomatu determinacji]] (AD). Jan Mycielski i Stanisław Świerczkowski<ref>[[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]], Stanisław Świerczkowski: ''[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm54/fm5417.pdf On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness]''. „[[Fundamenta Mathematicae]]”. 54 (1964), s. 67-71.</ref> wykazali, że przy założeniu AD wszystkie zbiory są mierzalne w sensie Lebesgue’a.▼
▲Bez aksjomatu wyboru nie można udowodnić istnienia zbiorów niemierzalnych i przy pewnych alternatywnych założeniach wszystkie podzbiory prostej mogą być mierzalne. W [[1962]] polscy matematycy [[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]] i [[Hugo Steinhaus]]<ref>[[Jan Mycielski (matematyk)|Jan Mycielski]], [[Hugo Steinhaus]]: ''A mathematical axiom contradicting the axiom of choice''. „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s.
Jeśli istnieje [[liczba nieosiągalna]], to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie [[zbiór rzutowy|rzutowe podzbiory]] prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a.<ref name=Solovay /> [[Saharon Shelah]]<ref>[[Saharon Shelah]]: ''Can you take Solovay’s inaccessible away?'' „Israel J. Math.” 48 (1984), s. 1-47.</ref> wykazał, że założenie istnienia liczby nieosiągalnej jest konieczne: mierzalność wszystkich zbiorów klasy <math>\Sigma^1_3</math> implikuje, że <math>\omega_1</math> jest liczbą nieosiągalną w [[Uniwersum konstruowalne|uniwersum zbiorów konstruowalnych]] ([[Kurt Gödel|Kurta Gödla]]).▼
▲Jeśli istnieje [[liczba nieosiągalna]], to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie [[zbiór rzutowy|rzutowe podzbiory]] prostej są mierzalne w sensie Lebesgue’a.<ref name=Solovay /> [[Saharon Shelah]]<ref>[[Saharon Shelah]]: ''Can you take Solovay’s inaccessible away?'' „Israel J. Math.” 48 (1984), s.
== Związki z innymi miarami ==
Linia 100 ⟶ 102:
<!--Formalnie σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue definiuje się jako -->
Pokazać można, że σ-ciało podzbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math> pokrywa się z rodziną
: <math>\mathfrak L := \
▲: <math>\mathfrak L := \bigl\{B \triangle N\colon B \in \mathfrak B \and N \in \mathfrak N \bigr\},</math>
gdzie <math>\triangle</math> oznacza operację [[różnica symetryczna zbiorów|różnicy symetrycznej]]. Można powiedzieć, że jest to [[rodzina zbiorów]] ''zaniedbywalnie mało'' różniących się od zbiorów borelowskich; dowodzi się również, że zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a z punktu widzenia miary są ''niemal'' [[zbiór otwarty|otwarte]], jak i ''niemal'' [[zbiór domknięty|domknięte]].
Linia 108 ⟶ 110:
: <math>\mathfrak L = \big\{G \triangle L\colon L \in \mathfrak L \and G</math> jest [[Zbiór typu G-delta|zbiorem typu G<sub>δ</sub>]]<math>\big\} = \big\{F \triangle L\colon L \in \mathfrak L \and F</math> jest [[Zbiór typu F-sigma|zbiorem typu F<sub>σ</sub>]]<math>\big\}.</math>
Istnieje dużo więcej zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a niż zbiorów mierzalnych borelowsko. Klasa <math>\mathfrak B</math> jest znacznie węższa od klasy <math>\mathfrak L,</math>
Miara borelowska jest [[miara niezmiennicza|niezmiennicza ze względu na przesunięcia]], ale nie jest [[miara zupełna|zupełna]].
Linia 125 ⟶ 127:
:: <math>\mu(A) = \mu(x + A),</math>
* [[miara lokalnie skończona|lokalnie skończona]], czyli każdy punkt przestrzeni <math>X</math> miałby [[otoczenie (matematyka)|otoczenie]] skończonej miary,
* [[miara ściśle dodatnia|ściśle dodatnia]], tzn. każdy niepusty zbiór otwarty miałby dodatnią miarę<ref>{{cytuj pismo |
W pewnym sensie nieistnienie tego typu ''porządnych'' obiektów w przypadku nieskończeniewymiarowym oddaje głębokie różnice w geometrii przestrzeni skończonego i nieskończonego wymiaru. Na przestrzeniach tych można jednak rozpatrywać inne naturalne miary, na przykład [[miara Gaussa|miary gaussowskie]].
| |||