Przestrzeń unormowana: Różnice pomiędzy wersjami

Niech <math>X</math> będzie przestrzenią liniową nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math>K</math> [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] bądź [[liczby zespolone|zespolonych]]<ref>Niektórzy autorzy, jak na przykład [[Nicolas Bourbaki]], podają ogólniejszą definicję przestrzeni unormowanej dopuszczając by ''K'' było dowolnym [[pierścień waluacji|pierścieniem waluacji]] [[pierścień z dzieleniem|z dzieleniem]] – nie jest to jednak powszechna praktyka.</ref>.<br /> [[Funkcja|Odwzorowanie]] <math>\|\cdot\|\colon X \to [0, \infty)</math> nazywa się '''normą''' w przestrzeni <math>X,</math>, jeśli dla wszystkich elementów <math>x,y\in X</math> i [[skalar (matematyka)|skalarów]] <math>\alpha\in K</math> spełnia następujące warunki:

# [[funkcja jednorodna|dodatniej jednorodności]]<br /> <math>\|\alpha x\| = |\alpha| \|x\|;</math>

# [[nierówność trójkąta|nierówności trójkąta]] ([[funkcja addytywna|podaddytywności]])<br /><math>\|x + y\| \leqslant \|x\| + \|y\|.</math>

Każde odwzorowanie spełniające warunek 2. spełnia również warunek

: <math>x = 0 \Rightarrow \|x\| = 0.</math>.

: <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0.</math>

: <math>\|\mathbf x\|_p = \biglbig(|x_1|^p + |x_2|^p + \ldots + |x_n|^p\bigrbig)^{1/p}</math>

są normami dla <math>1 \leqslant p < \infty,</math>, nazywanymi ''p-tymi normami''.

: <math>\|\mathbf x\|_\infty = \max\biglbig\{|x_i|\colon\, i=1, \dots, n\bigrbig\}.</math>

Jeżeli <math>K</math> jest [[przestrzeń zwarta|przestrzenią zwartą]], to przestrzeń <math>C(K)</math> wszystkich [[funkcja rzeczywista|rzeczywistych]] [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]], określonych na <math>K,</math>, jest przestrzenią unormowaną (a nawet [[przestrzeń Banacha|przestrzenią Banacha]]) z normą daną wzorem

Przykładem przestrzeni unormowanej, która nie jest zupełna jest np. przestrzeń <math>c_{00},</math>, tj. podprzestrzeń przestrzeni <math>\ell^\infty</math> wszystkich ciągów liczbowych których tylko skończenie wiele wyrazów jest niezerowych.

Dowodzi się, że [[równoważność|warunkiem koniecznym i wystarczającym]] równoważności norm <math>\|\cdot\|_1,</math>, <math>\|\cdot\|_2</math> w przestrzeni <math>X</math> jest istnienie dwóch takich dodatnich liczb rzeczywistych <math>c, C,</math> które dla każdego elementu <math>x \in X</math> spełniałyby warunek

Z drugiej strony, tzw. ''kryterium Kołmogorowa'' podaje warunek konieczny i wystarczający na to, aby w danej przestrzeni liniowo-topologicznej można było wprowadzić normę wyznaczającą wyjściową topologię przestrzeni (o przestrzeniach tego typu mówi się, że są ''normowalne''): przestrzeń liniowo-topologiczna jest normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[przestrzeń T1|''T''₁]] oraz zawiera [[zbiór wypukły|wypukłe]] i [[zbiór ograniczony|ograniczone]] otoczenie zera<ref>A. Kołmogorow, ''Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes'', Studia Math. vol. 5 (1934), s. 29-3329–33.</ref> ([[funkcjonał Minkowskiego]] wypukłego i ograniczonego otoczenia zera jest normą, która wyznacza wyjściową topologię przestrzeni).

Jeżeli <math>X</math> jest dowolną przestrzenią liniową nad ciałem <math>K,</math> to przestrzeń <math>\mboxtext{Hom}(X, K)</math> [[Forma liniowa|funkcjonałów liniowych]] określonych na <math>X</math> i o wartościach w <math>K</math> oznacza się zwykle symbolem <math>X'</math> i nazywa ''przestrzenią sprzężoną algebraicznie'' do <math>X.</math>.

W kontekście przestrzeni unormowanych rozważa się jednak częściej rodzinę tych funkcjonałów liniowych na nich określonych, które są [[Operator liniowy ograniczony|ciągłe]]: tworzą one przestrzeń <math>X^*,</math>, nazywaną ''przestrzenią sprzężoną topologicznie''; w przestrzeni tej można w naturalny sposób wprowadzić [[Norma operatorowa|normę operatorową]]. Na mocy [[twierdzenie Banacha-Steinhausa|twierdzenia Banacha-Steinhausa]] przestrzenie sprzężone do przestrzeni unormowanych są zawsze przestrzeniami Banacha (ograniczając się do przestrzeni nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych), niezależnie od tego, czy przestrzeń <math>X</math> jest zupełna.

Każdą przestrzeń unormowaną ''X'' można [[izometria|izometrycznie]] zanurzyć w [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)#Drugie przestrzenie sprzężone|drugą przestrzeń sprzężoną]] <math>X^{**},</math>, poprzez odwzorowanie

: <math>\kappa(x)x^*=x^* x,\, x^*\in X^*.</math>.

* {{cytuj książkę | nazwisko = Conway | imię = John B. | tytuł = A course in functional analysis | wydawca = Springer-Verlag | miejsce = New York | rok = 1990 | strony = 67 | isbn = 0387972455}}