Podprzestrzeń liniowa: Różnice pomiędzy wersjami

 

Podzbiór <math> U</math> przestrzeni liniowej <math> V</math> nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] <math> K</math> jest podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich <math> \mathbf u, \mathbf v \in U</math> i <math> a \in K</math> spełnione są warunki:

 

Z obu powyższych warunków wynika, że zbiór <math> U</math> jest ''zamknięty'' ze względu na [[mnożenie przez skalar]] i ze względu na dodawanie wektorów, oba działania w podprzestrzeni są więc dobrze określone a spełnianie przez nie aksjomatów przestrzeni liniowej wynika z tego, że <math> U</math> jest podzbiorem <math> V.</math>

Niech <math>U</math> i <math>W</math> będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni <math>V</math>. Między [[Baza (przestrzeń liniowa)#Wymiar przestrzeni liniowej|wymiarami]] przestrzeni <math> U + W</math> i <math> U \cap W</math> zachodzi związek

: <math>\dim(U + W) + \dim(U \cap W) = \dim U + \dim W</math>{{odn|Axler|1997|s=33}}{{odn|Roman|2005|s=50}}

W szczególności

: <math>\dim(U \oplus W) = \dim U + \dim W</math>{{odn|Axler|1997|s=36}}{{odn|Roman|2005|s=50}}.

Przeciwne twierdzenie również zachodzi, tj. jeżeli <math>U_1, \ldots, U_n</math> są takimi podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni <math>V</math>, że

: <math>\dim V = \dim U_1 +\ldots +\dim U_n</math>,

to

: <math>V= U_1\oplus \ldots \oplus U_n</math>{{odn|Axler|1997|s=34}}.

Niech <math>V</math> będzie przestrzenią liniową nad ciałem <math>K</math>. Dla każdego (niekoniecznie skończonego) podzbioru <math> A</math> przestrzeni liniowej <math> V</math> definiuje się ''podprzestrzeń generowaną przez zbiór'' <math>A</math>, <math>{\rm lin}\, A</math> (inne symbole: <math>{\rm span}\, A, \; \langle A \rangle</math>), jako zbiór wszystkich [[Kombinacja liniowa|kombinacji liniowych]] elementów zbioru <math>A</math>, tj.

: <math>{\rm lin}\, A = \bigl\{c_1 \mathbf v_1 + \dots + c_k \mathbf v_k\colon c_i \in K,\; \mathbf v_i \in A, i \leqslant k, \; k\in \mathbb N\}.</math>

Zbiór <math>{\rm lin}\, A</math> jest podprzestrzenią liniową przestrzeni <math>V</math>; jest to najmniejsza (w sensie [[podzbiór|zawierania]]) podprzestrzeń liniowa przestrzeni <math>V</math>, która zawiera zbiór <math>A</math>{{odn|Rutkowski|2006|s=31}}. Zbiór <math> A</math> nazywany jest ''zbiorem generującym'' albo ''zbiorem rozpinającym'' podprzestrzeń <math>{\rm lin}\, A</math>, a przestrzeń <math>{\rm lin}\, A</math> podprzestrzenią ''generowaną'' albo ''rozpiętą'' przez zbiór <math>A</math> bądź także ''otoczką liniową'' albo ''powłoką liniową'' zbioru <math>A</math>.