Przestrzeń unormowana: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Zredagowano wstęp - styl encyklopedyczny. Dodano nazwy definicji, twierdzeń. |
|||
Linia 1:
'''Przestrzeń unormowana''' – [[przestrzeń liniowa]], w której określono pojęcie ''normy'' będące uogólnieniem pojęcia [[wektor#Długość|długości]] (modułu) [[wektor]]a w [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]].
Przestrzenie unormowane pojawiają się w
Podwaliną powstania teorii przestrzeni unormowanych stały się badania zainicjowane przez matematyków w pierwszej połowie XX w. nad [[Przestrzeń Banacha|przestrzeniami Banacha]]. Przestrzeniami Banacha są przestrzenie unormowana, takie że norma indukuje metrykę, która ma szczególną własność - jest zupełna.
Teoria przestrzeni unormowanych, a szczególnie teoria przestrzeni Banacha jest jedną z głównych gałęzi [[analiza funkcjonalna|analizy funkcjonalnej]].
== Definicja ==
Linia 14 ⟶ 15:
Przestrzeń <math>X</math> z określoną normą <math>\|\cdot\|</math> nazywa się '''przestrzenią unormowaną'''.
; <nowiki>Uwagi:</nowiki>
(1) Każde odwzorowanie spełniające warunek 2. spełnia również warunek
: <math>x = 0 \Rightarrow \|x\| = 0.</math>
(2) Z tego powodu wielu autorów zamiast warunku 1. przyjmuje następujący warunek
: <math>\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0.</math>
== Przykłady norm ==
[[Plik:Vector norms.png|thumb|270px|[[Kula|Kule (koła) jednostkowe]] na [[przestrzeń euklidesowa|płaszczyźnie dwuwymiarowej]] w sensie norm <math>\scriptstyle{\|\cdot\|_1, \|\cdot\|_2}</math> i <math>\scriptstyle{\|\cdot\|_\infty}.</math>]]
'''P-normy'''
W [[przestrzeń współrzędnych|przestrzeniach współrzędnych]] <math>X = \mathbb R^n</math> lub <math>X = \mathbb C^n</math> można wprowadzić wiele norm. Niech <math>\mathbf x = (x_1, \dots, x_n) \in X.</math>
Funkcje postaci
: <math>\|\mathbf x\|_p = \big(|x_1|^p + |x_2|^p + \ldots + |x_n|^p\big)^{1/p}</math>
są normami dla <math>1 \leqslant p < \infty,</math> nazywanymi ''p-tymi normami''.
Normę <math>\|\cdot \|_2</math> nazywa się
'''Norma maximum'''
W przestrzeni <math>X</math> można wyróżnić także normę ''maksimum'' zadaną wzorem
: <math>\|\mathbf x\|_\infty = \max\big\{|x_i|\colon\, i=1, \dots, n\big\}.</math>
Jej oznaczenie jest zgodne z ''p''-tymi normami w tym sensie, iż <math>\|\mathbf x\|_p \to \|\mathbf x\|_\infty</math> przy <math>p \to \infty.</math>
'''Norma supremum'''
Jeżeli <math>K</math> jest [[przestrzeń zwarta|przestrzenią zwartą]], to przestrzeń <math>C(K)</math> wszystkich [[funkcja rzeczywista|rzeczywistych]] [[funkcja ciągła|funkcji ciągłych]], określonych na <math>K,</math> jest przestrzenią unormowaną (a nawet [[przestrzeń Banacha|przestrzenią Banacha]]) z normą daną wzorem
: <math>\|f\| = \sup\{|f(x)|\colon x\in K\}.</math>
== Norma indukowana przez iloczyn skalarny ==
'''Tw. 1'''
Jeśli <math>X</math> jest [[Przestrzeń unitarna|przestrzenią unitarną]] z iloczynem skalarnym <math>\langle \cdot, \cdot \rangle,</math> to dla dowolnego <math>x \in X</math> wzór
:<math>\|x\| := \sqrt{\langle x, x \rangle}</math>
definiuje normę w tej przestrzeni.
'''Df. 2'''
'''Normą''' '''generowaną''' ('''indukowaną''') '''przez iloczyn skalarny''' nazywa się normę zdefiniowaną w oparciu o iloczyn skalarny.
'''Tw. 2 (tożsamość równoległoboku)'''
Normy generowane przez iloczyn skalarny spełniają [[reguła równoległoboku|tożsamość równoległoboku]], tzn.
:<math>2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2.</math>
'''Tw. 3 (tożsamość polaryzacyjna)'''
Jeśli norma danej przestrzeni nie spełnia tożsamości równoległoboku, to nie można w niej wprowadzić iloczynu skalarnego; jeśli jednak spełnia ona tę tożsamość, to iloczyn skalarny zadany jest za pomocą następującej [[tożsamość polaryzacyjna|tożsamości polaryzacyjnej]]:
:<math>\langle x, y\rangle = \tfrac{1}{4}\left(\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2 + i\|x + iy\|^2 - i\|x - iy\|^2\right).</math>
== Równoważność norm ==
'''Df. 3 (równoważności norm)'''
Dwie normy przestrzeni liniowej nazywane są '''równoważnymi''', gdy metryki przez nie generowane wyznaczają tę samą [[przestrzeń topologiczna|topologię]].
Uwaga: Badanie równoważności norm sprowadza się z powyższej racji do badania [[przestrzeń metryczna#Równoważność metryk|równoważności metryk]].
'''Tw. 4 (o równoważności norm)'''
[[równoważność|Warunkiem koniecznym i wystarczającym]] równoważności norm <math>\|\cdot\|_1,</math> <math>\|\cdot\|_2</math> w przestrzeni <math>X</math> jest istnienie dwóch takich dodatnich liczb rzeczywistych <math>c, C,</math> które dla każdego elementu <math>x \in X</math> spełniają warunek
: <math>c\|x\|_1 \leqslant \|x\|_2 \leqslant C\|x\|_1.</math>
'''Tw. 5 (o zupełności norm)'''
Z powyższego wynika bezpośrednio, że:
Jeżeli dwie normy w danej przestrzeni są równoważne oraz jedna z nich jest [[przestrzeń zupełna|zupełna]] (w sensie metryk przez nie indukowanych), to druga również jest zupełna.
'''Tw. 6'''
W skończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej istnieje dokładnie jedna topologia liniowa – oznacza to, że wszystkie normy są takiej przestrzeni parami równoważne i zupełne.
'''Tw. 7'''
W każdej nieskończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej można wprowadzić nieskończenie wiele parami nierównoważnych norm.
== Przykłady przestrzeni unormowanych ==
'''(1)''' Przestrzenie należące do przestrzeni Banacha, np. [[przestrzeń Lp|przestrzenie ''L<sup>p</sup>'']], [[przestrzeń Sobolewa|przestrzenie Sobolewa]], [[przestrzeń Hardy’ego|przestrzenie Hardy’ego]].
'''(2)''' Każda [[podprzestrzeń liniowa]] przestrzeni Banacha, która nie jest [[zbiór domknięty|domknięta]], jest przestrzenią unormowaną (ale nie jest przestrzenią Banacha).
'''(3)''' Przestrzeń <math>c_{00}</math>wszystkich ciągów liczbowych, których tylko skończenie wiele wyrazów jest niezerowych jest przestrzenią unormowaną, ale niezupełną (przestrzeń ta jest podprzestrzenią przestrzeni <math>\ell^\infty</math>).
'''(4)''' [[całka Pettisa#Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa|Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa]] (o wartościach w przestrzeni nieskończeniewymiarowej) - przestrzeń unormowana, ale niezupełna.
== Związek z innymi przestrzeniami ==
=== Przestrzenie metryczne ===
W przestrzeni unormowanej <math>X</math> wzór
: <math>d(x, y) = \|x - y\|</math>
dla <math>x, y \in X</math>
=== Przestrzenie topologiczne ===
Topologia wyznaczona przez normę przestrzeni jest ''liniowa'' w tym sensie, że przestrzeń liniowa <math>X</math> wraz z tą topologią tworzy ''przestrzeń liniowo-topologiczną'' (tzn. działania dodawania wektorów i działania mnożenia wektora przez skalar są [[funkcja ciągła|ciągłe]] w sensie [[topologia produktowa|topologii produktowych]], odpowiednio w ''X'' × ''X'' i ''K'' × ''X''), która jest ponadto [[przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła|lokalnie wypukła]]L standardową bazą lokalną otoczeń zera tej przestrzeni, złożoną z [[zbiór wypukły|absolutnie wypukłych]] [[zbiór domknięty|zbiorów domkniętych]] jest rodzina
: <math>\mathcal B_0 = \Big\{\overline B\left(0, \tfrac{1}{n}\right)\colon n = 1, 2, \dots\Big\}</math>
Linia 73 ⟶ 126:
Z drugiej strony, tzw. ''kryterium Kołmogorowa'' podaje warunek konieczny i wystarczający na to, aby w danej przestrzeni liniowo-topologicznej można było wprowadzić normę wyznaczającą wyjściową topologię przestrzeni (o przestrzeniach tego typu mówi się, że są ''normowalne''): przestrzeń liniowo-topologiczna jest normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[przestrzeń T1|''T''<sub>1</sub>]] oraz zawiera [[zbiór wypukły|wypukłe]] i [[zbiór ograniczony|ograniczone]] otoczenie zera<ref>A. Kołmogorow, ''Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen Raumes'', Studia Math. vol. 5 (1934), s. 29–33.</ref> ([[funkcjonał Minkowskiego]] wypukłego i ograniczonego otoczenia zera jest normą, która wyznacza wyjściową topologię przestrzeni).
=== Przestrzenie sprzężone i przestrzenie operatorów ===
Linia 112 ⟶ 151:
Ostatnie dwie równości mają sens tylko w przypadku, gdy <math>X</math> jest [[przykłady przestrzeni liniowych#Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa|przestrzenią nietrywialną]].
== Pseudonorma. Przestrzeń pseudounormowana ==
'''Df. 1''' Funkcję <math>\|\cdot\|</math> niespełniającą 1. warunku nazywana jest ''pseudonormą''.
'''Df. 2''' Przestrzeń <math>X</math> z określoną pseudonormą <math>\|\cdot\|</math> nazywa się '''przestrzenią pseudounormowaną.'''
== Przypisy ==
{{Przypisy}}
== Zobacz też ==
'''Inne rodzaje przestrzeni:'''
* [[przestrzeń metryczna]]
* [[przestrzeń topologiczna]]
* [[przestrzeń liniowo-topologiczna]]
* [[przestrzeń unitarna]]
* [[przestrzeń Banacha]]
* [[przestrzeń Hilberta]]
== Bibliografia ==
| |||