Wersja z 16:59, 17 lip 2017 edytuj Gżdacz (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 28 733 edycje drobne techniczne ← poprzednia edycja		Wersja z 15:55, 23 paź 2018 edytuj anuluj edycję Beno (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy interfejsu, Administratorzy 133 101 edycji m WP:SK+Bn następna edycja →
Linia 1: '''Wektor zerowy''' – wektor [[przestrzeń liniowa\|przestrzeni liniowej]] pełniący rolę [[element neutralny\|elementu neutralnego]] dodawania wektorów; zapisywany zwykle [[cyfra\|symbolem zera]], <math> 0,</math> często dodatkowo wyróżnionym, np. wytłuszczeniem <math> \mathbf 0,</math> czy strzałką <math> \vec 0.</math> [[Przykłady przestrzeni liniowych#Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa\|Przestrzeń zerowa]] (trywialna) to najmniejsza w sensie zawierania przestrzeń liniowa – zawiera ona wyłącznie wektor zerowy, którego istnienie w dowolnej przestrzeni liniowej postulowane jest w jej aksjomatach. [[Obraz i przeciwobraz\|Przeciwobraz]] wektora zerowego (przestrzeni zerowej) w [[przekształcenie liniowe\|przekształceniu liniowym]] nazywa się ''[[jądro (algebra)\|jądrem]]'' tego przekształcenia. : ''W dalszej części artykułu pierwszy symbol będzie oznaczał element neutralny dodawania w ciele ([[0 (liczba)\|skalar zerowy]]), drugi – w przestrzeni liniowej (wektor zerowy).'' == Własności == Przestrzeń liniową można scharakteryzować jako [[grupa przemienna\|grupę abelową]] (tzn. [[grupa (matematyka)\|grupę]] z działaniem [[przemienność\|przemiennym]]) ze zgodnym z nim działaniem [[mnożenie przez skalar\|mnożenia przez skalar]]; element neutralny działania definiuje się jako taki wektor <math> \mathbf 0,</math> który dla każdego elementu <math> \mathbf x</math> tej przestrzeni spełnia : <math>\mathbf{x + 0} = \mathbf{0 + x} = \mathbf x,</math> przy czym w grupie element ten jest wyznaczony jednoznacznie i służy zdefiniowaniu ''[[wektor przeciwny\|wektora przeciwnego]]'' do danego (jako wektora, który w sumie z danym daje wektor zerowy). Zgodnie z aksjomatami przestrzeni liniowej dla dowolnego wektora <math> \mathbf x</math> oraz skalara (elementu z ciała) <math> a</math> zachodzą tożsamości: : <math>0 \mathbf x = \mathbf 0</math> oraz : <math>a \mathbf 0 = \mathbf 0.</math> Z pierwszej z nich na mocy zasady [[indukcja matematyczna\|indukcji]] dla dowolnego układu wektorów <math> \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n</math> można uzyskać, iż : <math>a_1 \mathbf x_1 + \dots + a_n \mathbf x_n = \mathbf 0,</math> o ile tylko <math> a_1 = \dots = a_n = 0;</math> z drugiej jednak strony, jeśli jest to jedyny układ skalarów o tej własności, to układ <math> \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n</math> nazywa się ''[[liniowa niezależność\|niezależnym]]'' (w przeciwnym przypadku mówi się, że jest ''zależny''). Druga tożsamość mówi więc, że układ złożony z wektora zerowego jest zależny. Ponieważ dowolny układ zawierający podukład zależny jest zależny, to wynika stąd, że każdy układ zawierający wektor zerowy jest zależny.▼ ▲o ile tylko <math> a_1 = \dots = a_n = 0;</math> z drugiej jednak strony, jeśli jest to jedyny układ skalarów o tej własności, to układ <math> \mathbf x_1, \dots, \mathbf x_n</math> nazywa się ''[[liniowa niezależność\|niezależnym]]'' (w przeciwnym przypadku mówi się, że jest ''zależny''). Druga tożsamość mówi więc, że układ złożony z wektora zerowego jest zależny. Ponieważ dowolny układ zawierający podukład zależny jest zależny, to wynika stąd, że każdy układ zawierający wektor zerowy jest zależny. == Dodatkowe struktury == W [[przestrzeń współrzędnych\|przestrzeniach współrzędnych]] (przestrzenie liniowe z wybraną [[baza (przestrzeń liniowa)\|bazą uporządkowaną]]) wektor zerowy to wektor o wszystkich składowych równych zeru, czyli <math> (0, \dots, 0).</math> W [[przestrzeń afiniczna\|przestrzeniach afinicznych]] wektor zerowy wyznaczany jest przez dowolny punkt <math> \mathrm p</math> tej przestrzeni jako <math> \mathrm p - \mathrm p = \overrightarrow\mathrm{pp}.</math> W [[przestrzeń unormowana\|przestrzeni liniowej z normą]] jedynym wektorem o normie równej zero jest wektor zerowy. W [[przestrzeń unormowana\|przestrzeniach liniowych z półnormą]] wektorem zerowym nazywa się dowolny wektor o zerowej półnormie; w [[czasoprzestrzeń Minkowskiego\|przestrzeni Minkowskiego]] dla odróżnienia od jedynego wektora o wszystkich współrzędnych zerowych wektor o zerowej normie Minkowskiego nazywa się też ''wektorem światłopodobnym''. W [[przestrzeń unitarna\|przestrzeniach unitarnych]] (tzn. przestrzeniach liniowych z [[iloczyn skalarny\|iloczynem skalarnym]]) zachodzi <math> \langle \mathbf 0, \mathbf x \rangle = \langle \mathbf x,\mathbf 0 \rangle = 0,</math> skąd również <math> 0\langle \mathbf \mathbf x, \mathbf y \rangle = 0</math> dla dowolnych wektorów <math> \mathbf x, \mathbf y.</math> [[Kategoria:Algebra liniowa]]

Wektor zerowy: Różnice pomiędzy wersjami