|
== Twierdzenie ==
{{zobacz też|przestrzeń liniowa|przekształcenie liniowe|baza (przestrzeń liniowa)|o3 = baza oraz wymiar|rząd (algebra liniowa)|o4 = rząd}}
Niech <math> \mathrm A\colon V \to W</math> będzie przekształceniem liniowym określonym między ustalonymi przestrzeniami liniowymi <math> V, W.</math> Wówczas zachodzi równość
: <math>\dim \mathrm{dom\; A} = \dim \ker \mathrm A + \dim \mathrm{im\; A},</math>
co oznacza się również
: <math>\dim V = \mathrm{null\; A} + \mathrm{rank\; A},</math>
gdzie <math> \dim</math> oznacza wymiar przestrzeni (względem jej ciała skalarów), a <math> \mathrm{dom},\ \ker,\ \mathrm{im}</math> oznaczają odpowiednio [[funkcja|dziedzinę]], [[jądro (algebra liniowa)|jądro]] i [[obraz i przeciwobraz|obraz]] przekształcenia liniowego, zaś <math> \mathrm{null},\ \mathrm{rank},</math> nazywane ''zerowością'' i ''rzędem'', symbolizują wymiary jądra i obrazu (są one [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzeniami liniowymi]]). Innymi słowy: wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu (sumie zerowości i rzędu) tego przekształcenia. ▼
▲gdzie <math> \dim</math> oznacza wymiar przestrzeni (względem jej ciała skalarów), a <math> \mathrm{dom},\ \ker,\ \mathrm{im}</math> oznaczają odpowiednio [[funkcja|dziedzinę]], [[jądro (algebra liniowa)|jądro]] i [[obraz i przeciwobraz|obraz]] przekształcenia liniowego, zaś <math> \mathrm{null},\ \mathrm{rank},</math> nazywane ''zerowością'' i ''rzędem'', symbolizują wymiary jądra i obrazu (są one [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzeniami liniowymi]]). Innymi słowy: wymiar dziedziny jest sumą wymiarów jądra i obrazu (sumie zerowości i rzędu) tego przekształcenia.
Jeżeli <math> \mathbf A</math> jest [[macierz]]ą typu <math> m \times n,</math> czyli o <math> m</math> wierszach i <math> n</math> kolumnach, to ▼
▲Jeżeli <math> \mathbf A</math> jest [[macierz]]ą typu <math> m \times n,</math> czyli o <math> m</math> wierszach i <math> n</math> kolumnach, to
: <math>n = \mathrm{null}\; \mathbf A + \mathrm{rank}\; \mathbf A,</math>
gdzie <math> \mathrm{null}</math> i <math> \mathrm{rank}</math> oznaczają odpowiednio ''zerowość'' (wymiar [[jądro (algebra liniowa)|jądra]]) oraz ''rząd'' (liczbę [[liniowa niezależność|niezależnych liniowo]] kolumn) macierzy.
== Dowód ==
{{zobacz też|suma prosta przestrzeni liniowych|podprzestrzeń liniowa#Powłoka linowa|o2 = zbiór generujący|liniowa niezależność}}
Niech <math> U</math> oznacza podprzestrzeń przestrzeni <math> V</math> spełniającą <math> V = \ker \mathrm A \oplus U,</math> a układ <math> \mathbf b_1, \dots, \mathbf b_k</math> będzie bazą <math> U</math> (tj. wraz z bazą <math> \ker \mathrm A</math> tworzy ona bazę <math> V</math>). Wówczas układ <math> \mathrm A(\mathbf b_1), \dots, \mathrm A(\mathbf b_k)</math> jest bazą <math> \mathrm{im\; A}.</math>
; Generowanie
: Niech <math> \mathbf w \in \mathrm{im\; A},</math> wtedy <math> \mathbf w = \mathrm A(\mathbf v)</math> dla pewnego <math> \mathbf v,</math> który z rozkładu na sumę prostą można jednoznacznie przedstawić w postaci <math> \mathbf v = \mathbf x + \mathbf y,</math> gdzie <math> \mathbf x \in \ker \mathrm A</math> oraz <math> \mathbf y \in U,</math> który można z kolei wyrazić w bazie tej podprzestrzeni jako <math> \mathbf y = y_1\mathbf b_1 + \dots + y_k\mathbf b_k</math> dla pewnych skalarów <math> y_1, \dots, y_k.</math> Stąd
:: <math>\mathbf w = \mathrm A(\mathbf v) = \mathrm A(\mathbf x + \mathbf y) = \mathrm A(\mathbf x) + \mathrm A(\mathbf y) = \mathbf 0 + \mathrm A(y_1\mathbf b_1 + \dots + y_k\mathbf b_k) = y_1\mathrm A(\mathbf b_1) + \dots + y_k\mathrm A(\mathbf b_k),</math>
: co wobec dowolności <math> \mathbf w</math> oznacza, że układ <math> \mathrm A(\mathbf b_1), \dots, \mathrm A(\mathbf b_k)</math> rozpina <math> \mathrm{im\; A}.</math>
; Liniowa niezależność
: Niech
:: <math>c_1\mathrm A(\mathbf b_1) + \dots + c_k\mathrm A(\mathbf b_k) = \mathbf 0,</math>
: wtedy <math> \mathrm A(c_1\mathbf b_1 + \dots + c_k\mathbf b_k) = 0,</math> czyli <math> c_1\mathbf b_1 + \dots + c_k\mathbf b_k</math> należy równocześnie do <math> U</math> (jako [[kombinacja liniowa]] wektorów tej przestrzeni) oraz do <math> \ker \mathrm A</math> (jako element odwzorowywany w tym przekształceniu w [[wektor zerowy]]). Ponieważ jedynym wektorem wspólnym dla tych przestrzeni jest wektor zerowy (z rozkładu na sumę prostą), to <math> c_1\mathbf b_1 + \dots + c_k\mathbf b_k = \mathbf 0,</math> czyli
:: <math>c_1, \dots, c_k = 0</math>
: (na mocy liniowej niezależności bazy <math> \mathbf b_1, \dots, \mathbf b_k</math>), co dowodzi liniowej niezależności <math> \mathrm A(\mathbf b_1), \dots, \mathrm A(\mathbf b_k).</math>
Teza twierdzenia wynika wprost z obserwacji, iż <math> \dim U = \dim \mathrm{im\; A} = \mathrm{rank\; A}</math> i własności wymiaru dla sumy prostej.
; Przypadek nieskończeniewymiarowy
: Dowód uogólnia się wprost na przestrzenie nieskończonego wymiaru: jeżeli <math> \dim U = \infty,</math> to układ <math> \mathbf b_1, \dots, \mathbf b_k</math> wystarczy zastąpić dowolną bazą <math> (\mathbf b_i)_{i \in I}</math> przestrzeni <math> U;</math> jeśli <math> \dim V = \infty,</math> to twierdzenie to mówi, że przestrzenie <math> \ker \mathrm A</math> oraz <math> \mathrm{im\; A}</math> nie mogą mieć jednocześnie skończonego wymiaru.
== Wnioski ==
{{zobacz też|przekształcenie liniowe#Własności|o1 = izomorifzm, epimorfizm, monomorfizm liniowe}}
Z twierdzenia tego można wyprowadzić szereg obserwacji:
* [[izomorfizm liniowy]] <math> V \to W</math> przeprowadza dowolną bazę <math> V</math> na bazę <math> W,</math> gdyż wtedy <math> \dim V = \dim \ker \mathrm A + \dim \mathrm{im\; A} = \dim \{\mathbf 0\} + \dim W = \dim W;</math>
* ponieważ z równości wymiarów dziedziny i przeciwdziedziny przekształcenia liniowego wynika, iż jest ono izomorfizmem liniowym, to w połączeniu z powyższym faktem przestrzenie liniowe są [[izomorfizm|izomorficzne]], tj. mają identyczną strukturę liniową, gdy są równego wymiaru (wymiar jest [[niezmiennik]]iem przestrzeni liniowych);
* jeśli dla przekształcenia liniowego <math> \mathrm A\colon V \to W</math> jest <math> \dim V = \dim W < \infty,</math> to jest ono monomorfizmem oraz epimorfizmem, a przez to izomorfizmem; na mocy założenia i z twierdzenia o rzędzie wynika następujący ciąg równoważności:
*: <math>\ker \mathrm A = \{\mathbf 0\} \Leftrightarrow \mathrm{null\; A} = 0 \Leftrightarrow \mathrm{rank\; A} = \dim V \Leftrightarrow \mathrm{rank\; A} = \dim W \Leftrightarrow \mathrm{im\; A} = W.</math>
== Zobacz też ==
* [[twierdzenie o izomorfizmie]] ▼* [[lemat o rozszczepianiu]]
* [[Rząd macierzy|nierówność Sylvestera]]
* [[twierdzenie Kroneckera-Capellego]]
▲* [[twierdzenie o izomorfizmie]]
[[Kategoria:Algebra liniowa]]
| 