Rozmaitość pseudoriemannowska: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Dodano uwagę nt. pseudometryki w ogólnej teorii względności |
Opisano dokładniej rozmaitość Lorentzowską: przestrzeń styczna, pseudonorma wektorów. |
||
Linia 61:
== Rozmaitość Lorentzowska 4-wymiarowa ==
Rozmaitość Lorentzowska 4-wymiarowa służy do modelowania czasoprzestrzeni w [[ogólna teoria względności|ogólnej teorii względności]], gdzie wymiar czasowy ma przeciwny znak do wymiarów przestrzennych. Różnica w znakach wynika z niezmienniczości prędkości światła względem dowolnego układu odniesienia. Zmiana tensora metrycznego czasoprzestrzeni, prowadząca do jej zakrzywienia, powstaje na skutek obecności materii (patrz: [[Równanie Einsteina|równania Einsteina]]).
=== Element liniowy === Element liniowy rozmaitości ma postać: :<math>ds^2(x) =\sum_{i,j=0}^3 g_{ij}(x)\,dx^i dx^j</math>
Linia 70 ⟶ 74:
:<math>ds^2(x) = -(dx^{0})^2 \,\,+ (dx^{1})^2 \,\,+ (dx^{2})^2 \,\,+ (dx^{3})^2 </math>
tj. tensor metryczny ma sygnaturę (1,3) lub (3,1). Mówi się, że tensor jest [[Określoność formy|nieokreślony]].
=== Tensor krzywizny ===
[[Tensor krzywizny Riemanna|Tensor krzywizny]] jest na ogół niediagonalny w poszczególnych punktach przestrzeni, co oznacza, że geometria na rozmaitości jest nieeuklidesowa.
=== Przestrzeń styczna ===
Wektory w rozmaitości nazywa się [[Czterowektor|czterowektorami]]. Na skutek różnic w znakach wektory w czasoprzestrzeni nie mają miary dodatniej lub zerowej (jak to jest w przestrzeniach euklidesowych, ale mają miary dodatnie (tzw. wektory czasopodobne), zerowe (tzw. wektory zerowe) oraz ujemne (tzw. wektory przestrzennopodobne).▼
Rozmaitość <math>M\, </math>w ogólnym przypadku nie jest przestrzenią wektorową, dlatego jej punktów nie można np. odejmować, różniczkować, itp. tak jak to wykonuje się na wektorach. Aby zdefiniować wektory w rozmaitości postępuje się następująco: w każdym punkcie <math>x\, </math>rozmaitości definiuje się [[Przestrzeń styczna|przestrzeń styczną]] <math>T_xM </math>, utworzoną z wektorów stycznych do rozmaitości, która już jest przestrzenią wektorową. Tu definiuje się wektory zaczepione do punktu <math>x\, </math>.
=== Wektory na rozmaitości ===
▲Wektory te w
== Czasoprzestrzeń Minkowskiego ==
| |||