Przestrzeń liniowa: Różnice pomiędzy wersjami

Przestrzeń liniowa jest wzbogacana o dodatkowe struktury.

 

Definiuje się dodatkowo [[Przestrzeń topologiczna|topologię]] w przestrzeni liniowej. W szczególności otrzyma się [[Przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeń liniowo-topologiczną]], jeśli działania dodawania wektorów i mnożenie przez [[skalar]] są [[Funkcja ciągła|ciągłe]]. Topologia określona na przestrzeni liniowej umożliwia wprowadzenie [[Przestrzeń jednostajna|struktury jednostajnej]]. Jeśli przestrzeń ma nieskończony wymiar, to można na niej określić więcej niż jedną nierównoważną [[Przestrzeń topologiczna|topologię]]

 

[[Przestrzeń unormowana]] - to przestrzeń liniowa nad ciałem <math>K\equiv R</math> lub <math>K\equiv C</math> z dodatkowo zdefiniowaną '''normą''', która określa długość wektorów.

 

[[Przestrzeń unitarna]] (prehilbertowska) - to przestrzeń liniowa z dodatkowo zdefiniowanym [[Iloczyn skalarny|iloczynem skalarnym]] dla wektorów.

 

Przestrzeń unormowana / unitarną <ref name="c" group="uwaga">Nad .</ref>, [[Przestrzeń zupełna|zupełną]] ze względu na [[Przestrzeń metryczna|metrykę]] generowaną przez normę / normę pochodzącą od iloczynu skalarnego - to [[przestrzeń Banacha]] / [[przestrzeń Hilberta]].

Np. w [[Mechanika kwantowa|mechanice kwantowej]] [[wektor stanu]] układu fizycznego definiuje się jako wektor w [[Przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]].

 

Wszystkie powyższe przestrzenie są szczególnymi rodzajami [[Przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeni liniowo-topologicznych]], to znaczy przestrzeni liniowych (ciałem liczb R lub C) wyposażonych w topologię<ref group="uwaga">Zakłada się dodatkowo, by przestrzeń topologiczna spełniała pierwszy [[Aksjomaty oddzielania|aksjomat oddzielania]].</ref> zgodną z jej strukturą liniową, czyli taką, w której dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe<ref group="uwaga">W sensie [[Topologia produktowa|topologii produktowej]] odpowiednio w: <math>\scriptstyle{X\times X}</math> i <math>\scriptstyle{K\times X}.</math></ref>.

 

Szerszą klasyfikację tych przestrzeni omówiono w artykule [[Przestrzeń liniowo-topologiczna#Klasy przestrzeni liniowo-topologicznych|przestrzenie liniowo-topologiczne]]. W przestrzeniach tych wprowadza się pojęcie [[Ciąg (matematyka)|zbieżności]] (za pomocą [[Przestrzeń topologiczna|topologii]], [[Przestrzeń metryczna|metryki]], [[Przestrzeń unormowana|normy]]), oraz rozważa się sumę [[Zbiór skończony|nieskończonej]] liczby wektorów (tzw. [[Szereg (matematyka)|szeregi]]).

 

[[Algebra nad ciałem|Algebrą nad ciałem]] - to przestrzeń liniowa z dodatkowym [[Działanie dwuargumentowe|działaniem]] [[Przekształcenie dwuliniowe|dwuliniowym]] określającym mnożenie dwóch wektorów.

 

Uporządkowana przestrzenią liniową - to przestrzeń liniowa z wprowadzonym w sposób zgodny ze strukturą przestrzeni [[Częściowy porządek|porządkiem częściowym]] wektorów.