Pierścień (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami

m
m (poprawa linków)
m (WP:SK+Bn)
== Definicja ==
Niech <math>(R, +, \cdot, 0)</math> będzie [[algebra ogólna|algebrą]], w której <math>R</math> jest pewnym niepustym [[zbiór|zbiorem]], symbole <math>+, \cdot</math> oznaczają dwa [[działanie dwuargumentowe|działania dwuargumentowe]] określone w tym zbiorze, a <math>0</math> jest pewnym [[działanie zeroargumentowe|wyróżnionym elementem]]. Algebra ta nazwana jest '''pierścieniem''' (''łącznym''), jeśli:
* struktura <math>R^+ = (R, +, 0)</math> jest [[grupa przemienna|grupą abelową]], nazywaną [[grupa addytywna|grupą addytywną]], z działaniem <math>+</math> nazywanym '''dodawaniem''' i [[element neutralny|elementem neutralnym]] <math>0</math> nazywanym '''[[0 (liczba)#Zero w matematyce|zerem]]''':
*: <math>\forall_{a, b, c \in R}\; a + (b + c) = (a + b) + c,</math>
*: <math>\forall_{a \in R}\; a + 0 = a,</math>
 
=== Warianty ===
Na działanie mnożenia nakłada się często dodatkowe warunki regularności, precyzując nazwę nowej struktury:
* '''[[pierścień z jedynką]]''' – istnienie [[element neutralny|elementu neutralnego]] mnożenia nazywanego '''[[1 (liczba)#Jeden w matematyce|jedynką]]'''<ref>Niekiedy wymaga się, aby był on różny od elementu neutralnego dodawania, wykluczając przy tym przypadek [[pierścień zerowy|pierścienia zerowego]], przybliżając definicję pierścienia do określenia [[ciało (matematyka)|ciała]].</ref>:
*: <math>\exists_{1 \in R}\; \forall_{a \in R}\; a \cdot 1 = 1 \cdot a = a,</math>
* '''[[pierścień przemienny]]''' – przemienność mnożenia (wówczas prawa rozdzielności stają się sobie równoważne):
*: <math>\forall_{a \in R \setminus \{0\}}\; \exists_{b \in R}\; a \cdot b = 1,</math>
 
'''Element odwrotny''' do <math>a</math> (względem mnożenia; <math>b</math> w powyższym aksjomacie) oznacza się zwykle symbolami <math>a^{-1}</math> lub <math>\tfrac{1}{a}.</math> Zbiór <math>R^*</math> [[element odwracalny|elementów odwracalnych]] pierścienia tworzy grupę ze względu na mnożenie (z jedynką jako elementem neutralnym; [[grupa przemienna|przemienną]], jeśli pierścień jest przemienny) nazywaną także '''[[grupaGrupa multyplikatywnamultiplikatywna|grupą multiplikatywną]]'''. W pierścieniu z dzieleniem jest <math>R^* = R \setminus \{0\}.</math>
 
Pierścień z jedynką bez dzielników zera nazywa się '''dziedziną'''. Ponieważ własność dzielenia pociąga za sobą brak dzielników zera<ref>Z aksjomatu istnienia elementu odwrotnego wynika, że dla każdego <math>\scriptstyle a \ne 0</math> istnieje element odwrotny <math>\scriptstyle a^{-1}.</math> Gdyby pierścień miał dzielniki zera, to istniałyby takie <math>\scriptstyle a, b \ne 0,</math> że <math>\scriptstyle ab = 0.</math> Lewostronne mnożenie stronami przez <math>\scriptstyle a^{-1}</math> daje <math>\scriptstyle a^{-1}ab = 0;</math> z istnienia elementu neutralnego mnożenia otrzymuje się sprzeczność z założeniem <math>\scriptstyle b = 0.</math></ref>, to każdy pierścień z dzieleniem jest pierścieniem bez dzielników zera, a więc dziedziną. Dziedziny przemienne określa się nazwą '''[[dziedzina całkowitości]]''' (także: '''pierścień całkowity'''; niekiedy nie wyróżnia się nieprzemiennych dziedzin całkowitości, wówczas często skraca się nazwę tej struktury do: ''dziedzina''). Pierścień przemienny z dzieleniem (lub z powyższej obserwacji: dziedzinę całkowitości z dzieleniem) nazywa się '''[[ciało (matematyka)|ciałem]]'''.
 
== Przykłady ==
* [[liczby całkowite Eisensteina]] (pierścień przemienny, dziedzina Euklidesa),
 
Osobnym przykładem są [[pierścień wielomianów|pierścienie wielomianów]] <math>R[X]</math> jednej zmiennej <math>X</math> o współczynnikach z pierścienia <math>R.</math> W <math>R[X]</math> zachowywane są następujące własności pierścienia <math>R{:}</math>: przemienność, istnienie jedynki, brak dzielników zera, całkowitość (tzn. bycie dziedziną całkowitości), jednoznaczność rozkładu ([[Twierdzenie Gaussa (algebra)|twierdzenie Gaussa]]), noetherowskość ([[twierdzenie Hilberta o bazie]]). Jeżeli <math>R</math> jest ciałem, to <math>R[X]</math> jest [[Dziedzina Euklidesa|pierścieniem euklidesowym]].
 
Dobrze znane struktury [[liczby wymierne|liczb wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], czy [[liczby zespolone|liczb zespolonych]] z działaniami arytmetycznymi są przykładami pierścieni, jako że wszystkie są [[ciało (matematyka)|ciałami]]. Z kolei liczby naturalne (z działaniami arytmetycznymi) ''nie'' tworzą pierścienia, ponieważ wraz z działaniem dodawania nie tworzą nawet [[grupa (matematyka)|grupy]]; [[oktawy Cayleya|oktoniony]] również nie są pierścieniem, ponieważ mnożenie w nich określone nie jest [[łączność (matematyka)|łączne]], lecz tylko [[alternatywność|alternatywne]].
=== Podpierścienie ===
{{Osobny artykuł|podpierścień}}
Podzbiór <math>S</math> pierścienia <math>(R, +, \cdot)</math> nazywa się '''podpierścieniem''', jeżeli jest on zamknięty na działania pierścienia <math>R,</math> czyli sam tworzy pierścień z działaniami odziedziczonymi z <math>R{:}</math>:
* <math>\forall_{a, b \in S}\; a - b \in S,</math>
* <math>\forall_{a, b \in S}\; a \cdot b \in S.</math>
Jeżeli <math>I</math> spełnia w zamian warunek
: <math>i \cdot r \in I,</math>
 
to nazywa się ją '''ideałem prawostronnym'''. Ideał będący zarazem lewo- jak i prawostronny nazywa się krótko '''ideałem'''; pojęcia te pokrywają się w pierścieniach przemiennych. Każdy ideał jest podpierścieniem.
 
W dowolnym nietrywialnym pierścieniu <math>R</math> istnieją co najmniej dwa różne ideały: cały pierścień <math>R</math> i podpierścień trywialny <math>\{0\},</math> nazywa się je ''ideałami trywialnymi'' lub ''niewłaściwymi'', wszystkie pozostałe nazywa się ''ideałami właściwymi''.
 
Ze względu na inne własności wyróżnia się m.in. następujące rodzaje ideałów pierścienia <math>R{:}</math>:
* [[ideał główny]] – generowany przez jeden element pierścienia,
* [[ideał maksymalny]] – zawarty wyłącznie w ideale niewłaściwym <math>R,</math>
* <math>f(a + b) = f(a) + f(b),</math>
* <math>f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b),</math>
 
nazywa się '''homomorfizmem pierścieni'''. Inaczej: jest to [[homomorfizm grup]] addytywnych, a przy tym [[półgrupa|homomorfizm półgrup]] multiplikatywnych tych pierścieni.
 
* <math>f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b),</math>
* <math>f(1_{R_1}) = 1_{R_2},</math>
 
nazywa się '''homomorfizmem pierścieni z jedynką'''. Inaczej: jest to [[homomorfizm grup]] addytywnych, a przy tym [[monoid|homomorfizm monoidów]] multiplikatywnych.
 
Dodawanie jest dobrze określone z [[Grupa ilorazowa#Definicja|definicji grupy ilorazowej]]. Wystarczy więc dowieść, że iloczyn warstw nie zależy od wyboru [[Relacja równoważności#Klasy abstrakcji|reprezentanta]] mnożonych warstw. Niech dane będą dwie warstwy, każda z nich reprezentowana przez dwa różne elementy: <math>a + I = a' + I</math> oraz <math>b + I = b' + I.</math> Równość
: <math>(a \cdot b) + I = (a + I) \cdot (b + I) = (a' + I) \cdot (b' + I) = (a' \cdot b') + I</math>
 
dowodzi, że zmiana reprezentantów nie wpływa na wynik mnożenia, gdyż otrzymuje się tę samą, choć reprezentowaną przez inny element, warstwę.
 
== Zobacz też ==
{{wikisłownik|pierścień}}
* [[algebra nad ciałem]]
* [[moduł (matematyka)|moduł]]
* [[Algebra Boole’a|pierścień Boole’a]]
* [[pierścień przemienny]]
* [[półpierścień]]
* [[algebra nad ciałem]]
* [[moduł (matematyka)|moduł]]
 
== Przypisy ==
{{Przypisy}}
 
== LiteraturaBibliografia ==
* Andrzej Białynicki-Birula, ''Algebra''.
* Jerzy Browkin, ''Teoria ciał''.
 
[[Kategoria:Teoria pierścieni]]