Pierścień (matematyka): Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m poprawa linków |
|||
Linia 7:
== Definicja ==
Niech <math>(R, +, \cdot, 0)</math> będzie [[algebra ogólna|algebrą]], w której <math>R</math> jest pewnym niepustym [[zbiór|zbiorem]], symbole <math>+, \cdot</math> oznaczają dwa [[działanie dwuargumentowe|działania dwuargumentowe]] określone w tym zbiorze, a <math>0</math> jest pewnym [[działanie zeroargumentowe|wyróżnionym elementem]]. Algebra ta nazwana jest '''pierścieniem''' (''łącznym''), jeśli:
* struktura <math>R^+ = (R, +, 0)</math> jest [[grupa przemienna|grupą abelową]], nazywaną [[grupa addytywna|grupą addytywną]], z działaniem <math>+</math> nazywanym '''dodawaniem''' i [[element neutralny|elementem neutralnym]] <math>0</math> nazywanym '''[[0
*: <math>\forall_{a, b, c \in R}\; a + (b + c) = (a + b) + c,</math>
*: <math>\forall_{a \in R}\; a + 0 = a,</math>
Linia 21:
=== Warianty ===
Na działanie mnożenia nakłada się często dodatkowe warunki regularności, precyzując nazwę nowej struktury:
* '''[[pierścień z jedynką]]''' – istnienie [[element neutralny|elementu neutralnego]] mnożenia nazywanego '''[[1 (liczba)#Jeden w matematyce|jedynką]]'''<ref>Niekiedy wymaga się, aby był on różny od elementu neutralnego dodawania, wykluczając przy tym przypadek [[pierścień zerowy|pierścienia zerowego]], przybliżając definicję pierścienia do określenia [[ciało (matematyka)|ciała]].</ref>:
*: <math>\exists_{1 \in R}\; \forall_{a \in R}\; a \cdot 1 = 1 \cdot a = a,</math>
* '''[[pierścień przemienny]]''' – przemienność mnożenia (wówczas prawa rozdzielności stają się sobie równoważne):
Linia 38:
*: <math>\forall_{a \in R \setminus \{0\}}\; \exists_{b \in R}\; a \cdot b = 1,</math>
'''Element odwrotny''' do <math>a</math> (względem mnożenia; <math>b</math> w powyższym aksjomacie) oznacza się zwykle symbolami <math>a^{-1}</math> lub <math>\tfrac{1}{a}.</math> Zbiór <math>R^*</math> [[element odwracalny|elementów odwracalnych]] pierścienia tworzy grupę ze względu na mnożenie (z jedynką jako elementem neutralnym; [[grupa przemienna|przemienną]], jeśli pierścień jest przemienny) nazywaną także '''[[
Pierścień z jedynką bez dzielników zera nazywa się '''dziedziną'''. Ponieważ własność dzielenia pociąga za sobą brak dzielników zera<ref>Z aksjomatu istnienia elementu odwrotnego wynika, że dla każdego <math>
== Przykłady ==
Linia 54:
* [[liczby całkowite Eisensteina]] (pierścień przemienny, dziedzina Euklidesa),
Osobnym przykładem są [[pierścień wielomianów|pierścienie wielomianów]] <math>R[X]</math> jednej zmiennej <math>X</math> o współczynnikach z pierścienia <math>R.</math> W <math>R[X]</math> zachowywane są następujące własności pierścienia <math>R{:}</math>
Dobrze znane struktury [[liczby wymierne|liczb wymiernych]], [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], czy [[liczby zespolone|liczb zespolonych]] z działaniami arytmetycznymi są przykładami pierścieni, jako że wszystkie są [[ciało (matematyka)|ciałami]]. Z kolei liczby naturalne (z działaniami arytmetycznymi) ''nie'' tworzą pierścienia, ponieważ wraz z działaniem dodawania nie tworzą nawet [[grupa (matematyka)|grupy]]; [[oktawy Cayleya|oktoniony]] również nie są pierścieniem, ponieważ mnożenie w nich określone nie jest [[łączność (matematyka)|łączne]], lecz tylko [[alternatywność|alternatywne]].
Linia 61:
=== Podpierścienie ===
{{Osobny artykuł|podpierścień}}
Podzbiór <math>S</math> pierścienia <math>(R, +, \cdot)</math> nazywa się '''podpierścieniem''', jeżeli jest on zamknięty na działania pierścienia <math>R,</math> czyli sam tworzy pierścień z działaniami odziedziczonymi z <math>R{:}</math>
* <math>\forall_{a, b \in S}\; a - b \in S,</math>
* <math>\forall_{a, b \in S}\; a \cdot b \in S.</math>
Linia 74:
Jeżeli <math>I</math> spełnia w zamian warunek
: <math>i \cdot r \in I,</math>
to nazywa się ją '''ideałem prawostronnym'''. Ideał będący zarazem lewo- jak i prawostronny nazywa się krótko '''ideałem'''; pojęcia te pokrywają się w pierścieniach przemiennych. Każdy ideał jest podpierścieniem.
W dowolnym nietrywialnym pierścieniu <math>R</math> istnieją co najmniej dwa różne ideały: cały pierścień <math>R</math> i podpierścień trywialny <math>\{0\},</math> nazywa się je ''ideałami trywialnymi'' lub ''niewłaściwymi'', wszystkie pozostałe nazywa się ''ideałami właściwymi''.
Ze względu na inne własności wyróżnia się m.in. następujące rodzaje ideałów pierścienia <math>R{:}</math>
* [[ideał główny]] – generowany przez jeden element pierścienia,
* [[ideał maksymalny]] – zawarty wyłącznie w ideale niewłaściwym <math>R,</math>
Linia 96 ⟶ 97:
* <math>f(a + b) = f(a) + f(b),</math>
* <math>f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b),</math>
nazywa się '''homomorfizmem pierścieni'''. Inaczej: jest to [[homomorfizm grup]] addytywnych, a przy tym [[półgrupa|homomorfizm półgrup]] multiplikatywnych tych pierścieni.
Linia 102 ⟶ 104:
* <math>f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b),</math>
* <math>f(1_{R_1}) = 1_{R_2},</math>
nazywa się '''homomorfizmem pierścieni z jedynką'''. Inaczej: jest to [[homomorfizm grup]] addytywnych, a przy tym [[monoid|homomorfizm monoidów]] multiplikatywnych.
Linia 114 ⟶ 117:
Dodawanie jest dobrze określone z [[Grupa ilorazowa#Definicja|definicji grupy ilorazowej]]. Wystarczy więc dowieść, że iloczyn warstw nie zależy od wyboru [[Relacja równoważności#Klasy abstrakcji|reprezentanta]] mnożonych warstw. Niech dane będą dwie warstwy, każda z nich reprezentowana przez dwa różne elementy: <math>a + I = a' + I</math> oraz <math>b + I = b' + I.</math> Równość
: <math>(a \cdot b) + I = (a + I) \cdot (b + I) = (a' + I) \cdot (b' + I) = (a' \cdot b') + I</math>
dowodzi, że zmiana reprezentantów nie wpływa na wynik mnożenia, gdyż otrzymuje się tę samą, choć reprezentowaną przez inny element, warstwę.
Linia 131 ⟶ 135:
== Zobacz też ==
{{wikisłownik|pierścień}}
* [[algebra nad ciałem]]▼
* [[moduł (matematyka)|moduł]]▼
* [[Algebra Boole’a|pierścień Boole’a]]
* [[pierścień przemienny]]
* [[półpierścień]]
▲* [[algebra nad ciałem]]
▲* [[moduł (matematyka)|moduł]]
== Przypisy ==
{{Przypisy}}
==
* Andrzej Białynicki-Birula, ''Algebra''.
* Jerzy Browkin, ''Teoria ciał''.
[[Kategoria:Teoria pierścieni]]
| |||