Złożenie funkcji: Różnice pomiędzy wersjami

'''Złożenie (superpozycja) funkcji''' – podstawowa operacja w matematyce, polegająca na tym, że efekt kolejnego stosowania dwóch (lub więcej) [[Funkcja |funkcji]] (ze [[zbiór |zbioru]] w zbiór), a także przekształceń, odwzorowań, transformacji, [[Relacja dwuargumentowa |relacji dwuargumentowych]], traktuje się jako wynik stosowania jednej funkcji (lub relacji) złożonej.

: <math>h(x)=g\left(f(x)\right)</math> dla <math>x \in X.</math>.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany <math>\circ.</math>. Dla powyższych funkcji

: <math>h = g \circ f,</math>,

zatem dla dowolnego <math>x</math> z dziedziny funkcji <math> f</math> mamy równość:

: <math>h(x) = g\left(f(x)\right) = (g \circ f)(x).</math>.

Łączność operatora składania oznacza, że <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h,</math>, czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis <math>f \circ g \circ h.</math>.

Z istnienia złożenia <math>g \circ f</math> nie wynika istnienie <math>f \circ g.</math>. Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór <math>X</math> jest tożsamy z <math>Z.</math>. Mamy wówczas <math>f \circ g\colon Y \to Y,</math>, w takim przypadku <math>f \circ g</math> na ogół różni się od funkcji <math>g \circ f.</math>.

Niech <math>f\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = 2x+1</math> i <math>g\colon \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = x^2.</math>.

Wtedy

: <math>(g \circ f)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (g \circ f)(x) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1,</math>,

natomiast

: <math>(f \circ g)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (f \circ g)(x) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1.</math>.

Widać, iż <math>g \circ f</math> jest inna niż <math>f \circ g.</math>.

* <math>\Sigma_X,</math>, czyli [[Grupa permutacji|grupa symetryczna]] danego zbioru <math>X,</math>, oznaczana również przez <math>S_X</math> albo <math>\operatorname{Sym}(X),</math>, czyli grupa wszystkich bijekcji <math>f\colon X \to X.</math>.

* Zbiór wszystkich odwzorowań <math>f\colon X \to X</math> jest półgrupą, a nawet [[monoid]]em, w którym rolę elementu neutralnego pełni [[Funkcja tożsamościowa|odwzorowanie tożsamościowe]].

Jeżeli <math>f\colon X \to X,</math>, to można wykonać złożenie <math>f</math> samą ze sobą – otrzymaną funkcję <math>f \circ f</math> oznacza się zazwyczaj <math>f^2.</math>. Analogicznie, <math>f^3 = f \circ f \circ f</math> itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się [[iteracja odwzorowania|iteracją]].

Dodatkowo funkcję <math>f,</math>, dla której <math>(f \circ f)(x) = x</math> nazywamy [[inwolucja (matematyka)|inwolucją]]; jej przykładem w geometrii jest [[inwersja (geometria)|inwersja]].

Tradycyjnie ''f'' ²² jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły [[funkcja|iloczyn funkcji]] (nazywany też iloczynem punktowym), czyli <math>f^2 (x) = f(x) \cdot f(x)</math> dla każdego <math>x \in X .</math>. W szczególności umowa ta dotyczy [[funkcje trygonometryczne|funkcji trygonometrycznych]], np. we wzorze: <math>\sin^2 x + \cos^2 x = 1</math> zapis <math>\sin^2 x</math> oznacza właśnie <math>\sin x \cdot \sin x = (\sin x)^2.</math>.