Ułamek: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Wycofano edycje użytkownika 109.231.35.247 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Paweł Ziemian. Znacznik: Wycofanie zmian |
|||
Linia 1:
{{Inne znaczenia}}
[[Plik:Pigeons-in-holes.jpg|mały|W tych przegródkach znajduje się 7 gołębi. Jeden gołąb to jedna część z siedmiu
[[Plik:Cake quarters.svg|mały|Ciasto dzielimy na cztery części. Jedna część to 1/4, czyli 25% całego ciasta
'''Ułamek''' – wyrażenie postaci <math>\tfrac{a}{b},</math>
Wartością ułamka jest wartość jego licznika [[dzielenie|podzielona]] przez wartość mianownika, dlatego ułamek jest ilorazem. Z tego też powodu o mianowniku ułamka zakłada się, że jest różny od zera, bowiem iloraz <math>\tfrac{a}{0}</math> jest [[dzielenie przez zero|nieokreślony]].
Linia 9:
Jeżeli licznikiem i mianownikiem ułamka są [[liczby całkowite]], wówczas wartością ułamka jest [[Liczby wymierne|liczba wymierna]].
Ułamek będący liczbą wymierną nazywa się '''właściwym''', gdy jego [[wartość bezwzględna]] jest mniejsza od jedności, a '''niewłaściwym''', gdy jest ona od niej większa lub równa. Ułamek o dodatnim liczniku i mianowniku jest właściwy, gdy jego licznik jest mniejszy od mianownika, niewłaściwy – gdy jest większy lub równy. Ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci ''liczby mieszanej'', tj. sumy liczby całkowitej i ułamka właściwego; aby tego dokonać należy wykonać dzielenie z resztą licznika przez mianownik. Zwyczajowo sumę zapisuje się już bez [[Plus i minus|znaku dodawania]], np. <math>1 + \tfrac{2}{3}</math> staje się <math>1\tfrac{2}{3}.</math>
=== Działania na ułamkach ===
Dla każdego <math>c \ne 0
[[Mnożenie]] i [[dzielenie]] wykonuje się wg wzorów:
: <math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd},\quad{}</math>
: <math>\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}.</math>
Przedstawienie liczby <math>k
: <math>\frac{a}{b} \cdot k = \frac{ak}{b},</math>
: <math>\frac{a}{b} : k = \frac{a}{bk}.</math>
Aby [[dodawanie|dodać]] lub [[odejmowanie|odjąć]] od siebie ułamki o identycznych mianownikach należy skorzystać z następujących wzorów:
: <math>\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m},\
Jeżeli mianowniki są różne, należy uprzednio '''sprowadzić je do wspólnego mianownika''', co polega na takim rozszerzeniu ułamków, aby ich mianowniki zrównały się. Prawdziwe są wzory:
: <math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd},\
Liczba <math>bd
Aby sprowadzić ułamek do postaci nieskracalnej, należy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik ułamka przez jak najwyższą możliwą liczbę (musi być taka sama!), np.:
: <math>\frac{450}{3150}=\frac{450
▲<math>\frac{450}{3150}=\frac{450\div50}{3150\div50}=\frac{9}{63}=\frac{9\div9}{63\div9}=\frac{1}{7}</math>
Wzór:
: <math>\frac{a}{b}=\frac{a
Ułamek jest w postaci nieskracalnej, jeżeli licznik i mianownik nie mają wspólnych liczb, przez które można podzielić zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty (nie licząc 0) lub ma postać <math>\frac{1}{a},</math>
▲<math>\frac{a}{b}=\frac{a\div c}{b\div c}=\frac{d}{e}=\frac{d\div f}{e\div f}=\frac{g}{h}</math>lub można skrócić na <math>\frac{a}{b}=\frac{a\div c}{b\div c}=\frac{d}{e}</math>, gdzie <math>b\neq0</math>, <math>c\neq0</math>, <math>e\neq0</math>, <math>f\neq0</math>oraz <math>h\neq0</math>.
Przykład: Ułamek <math>\frac{9}{40}</math> jest nieskracalny, ponieważ 9 jest podzielne przez 1, 3, 9, a mianownika nie można bez reszty podzielić przez ani 3, ani 9, a dzielenie przez 1 nie zmienia ułamka.▼
▲Ułamek jest w postaci nieskracalnej, jeżeli licznik i mianownik nie mają wspólnych liczb, przez które można podzielić zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty (nie licząc 0) lub ma postać <math>\frac{1}{a}</math>, gdzie <math>a\neq0</math>.
▲Przykład: Ułamek <math>\frac{9}{40}</math>jest nieskracalny, ponieważ 9 jest podzielne przez 1, 3, 9, a mianownika nie można bez reszty podzielić przez ani 3, ani 9, a dzielenie przez 1 nie zmienia ułamka.
== Wyrażenia wymierne ==
Linia 47 ⟶ 45:
== Ciało ułamków ==
{{osobny artykuł|ciało ułamków}}
Dla każdego [[Dziedzina całkowitości|pierścienia całkowitego]] <math>P
=== Istotność założenia całkowitości pierścienia ===
Jeżeli [[pierścień przemienny]] ma [[dzielnik zera|dzielniki zera]], to nie można skonstruować na nim ciała ułamków: jeśli <math>xy = 0</math> dla niezerowych <math>x, y\in P,</math>
: <math>[1, 1] \sim [x, x] = [x, 1] \cdot [1, x] \sim [xy, y] \cdot [1, x] = [0, y] \cdot [1, x] \sim [0, 1] \cdot [1,x] = [0, x] \sim [0,1],</math>
czyli
: <math>[1, 1] \sim [0,1]
stąd zaś dla dowolnego
: <math>[a, b] = [a, b] \cdot [1, 1] \sim [a, b] \cdot [0, 1] = [0, b] \sim [0, 1],</math>
więc jest tylko jedna klasa abstrakcji – klasa <math>[0, 1],</math>
Dla pierścieni nieprzemiennych tworzenie ułamków bardzo się komplikuje.
Linia 62 ⟶ 63:
== Typografia ==
{{Oznaczenia matematyczne}}
Licznik i mianownik zwykle oddziela się linią; jeżeli jest ona pochyła, to nazywa się ją '''[[ukośnik]]iem''', np. <math>3/4;</math>
W [[Unikod|Unicode]] niektóre ułamki kodowane są za pomocą jednego znaku. Są to:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Nazwa !! Znak !! [[Unikod|Unicode]] !! Kod [[HTML]]
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|-
| style="text-align:left"
|}
|