Wersja z 02:05, 12 lut 2019 edytuj Tomasz59 (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 5506 edycji Redakcja treści - korekta. Znacznik: VisualEditor ← poprzednia edycja		Wersja z 02:40, 12 lut 2019 edytuj anuluj edycję Tomasz59 (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 5506 edycji Ujednolicenie symboli, uściślenia. Znacznik: VisualEditor następna edycja →
Linia 20: == Grupa obrotów SO(3) == W [[przestrzeń euklidesowa\|przestrzeni euklidesowej]] 3-wymiarowej mamy grupę obrotów <math>SO(3)</math>, która jest podgrupą grupy <math>O(3)</math>. Grupa obrotów <math>SO(3)</math> jest '''grupą ciągłą,''' tzn.. ~~Element~~wszystkie elementy <math>R</math> grupy ~~SO(3)~~są ~~można~~określone ~~parametryzować~~za wpomocą ~~sposób ciągły przez trzy parametry~~3 ~~wektor~~parametrów <math>~~\alpha~~z_1,~~</math> oś obrotu <math>\omega</math> i kąt obrotu ψ (przy czym <math>\alpha^i=\omega^i \psi~~z_2,z_3</math> ~~<math>\omega^1=\sin(\theta) \sin(\phi),</math> <math>\omega^2=\sin(\theta) \cos(\phi),</math> <math>\omega^3=\cos(\theta)</math>), tj.~~ : <math>R=exp\,[\,{i\sum_{a=1}^3 T^a \,~~\alpha^a~~z_a}\,],</math> gdzie trzy macierze <math>T^a</math> – zwane '''generatorami grupy obrotów''' – mają postać: Linia 31 ⟶ 32: : <math>[ T^a, T^b ] =i \sum_c \epsilon_{a b c}T^c,</math> gdzie <math>\epsilon_{a b c}</math> oznacza tzw. [[Symbol Leviego-Civity\|'''symbol''' '''antysymetryczny''']]: <math>\epsilon_{a b c}=+1,</math> gdy liczby ''abc'' są parzystą [[permutacja\|permutacją]] liczb 123, <math>\epsilon_{a b c}=-1</math>, gdy liczby ''abc'' są nieparzystą permutacją liczb 123, *<math>\epsilon_{a b c}=\,\,\,\,0</math>, gdy dwie lub trzy liczby ''a, b, c'' są takie same. Uwzględniając powyższe wartości otrzyma się: ~~Z powyższego wzoru mamy:~~ :<math>[ T^1, T^2 ] =i \,T^3,</math> :<math>[ T^2, T^3 ] =i \,T^1,</math> :<math>[ T^3, T^1 ] =i \,T^2.</math> : Uwaga: Grupa <math>SO(3)</math> jest ciągła, gdyż parametry <math>z_1,z_2,z_3</math> należą do zbioru spójnego <math>\Omega\subseteq R^3</math>, przy czym :<math>z^a=\omega^a \psi,</math> gdzie: :<math>\omega^1=\sin\theta \sin\phi,</math> <math>\omega^2=\sin\theta \cos\phi,</math> <math>\omega^3=\cos\theta</math> :- współrzędne kartezjańskie wektora jednostkowego, skierowanego wzdłuż osi obrotu, :<math>\psi\,</math>- kąt obrotu wokół tej osi. :oraz :<math>\theta\,\in(0, 2\pi), \phi\in(0, 2\pi)</math>, <math>\psi\,\in(0, 2\pi)</math>. == Algebra Liego grupy SO(n) == Generatory grupy <math>SO(n)</math> rozpinają [[Algebra Liego\|algebrę Liego]] <math>so(n)</math> z nawiasem Liego zadanym przez [[Komutator (matematyka)\|komutator]] :<math>[A,B] =A B - B A</math>. == Grupy obrotu a operatory mechaniki kwantowej == ('''1''') Bardzo podobne reguły komutacyjne jak generatory grupy obrotu <math>SO(3) </math>spełnia [[Moment pędu#W mechanice kwantowej\|operator momentu pędu]] [[mechanika kwantowa\|mechaniki kwantowej]] (z dokładnością do [[stała Plancka\|stałej Plancka]] <math>\hbar</math>) :<math>\hat{L}=[L_x,L_y,L_z]</math> Linia 57 ⟶ 69: :<math>[ L_x, L_y ] =i\hbar \,L_z\ne 0,</math>itd Macierze odpowiadające składowym tego operatora tworzą [[reprezentacja grupy\|reprezentację]] algebry <math>so(3)</math> w przestrzeni [[funkcja całkowalna\|funkcji całkowalnych]] z kwadratem <math>L^2.</math> Pomiary pokazały, że nie da się jednocześnie zmierzyć wszystkich 3 składowych [[moment pędu\|momentu pędu]] ([[zasada nieoznaczoności]] pomiaru momentu pędu układu kwantowego) - faktowi temu odpowiada w opisie mechaniki kwantowej fakt teoretyczny: komutator dwóch dowolnych składowych tego operatora jest niezerowy. ('''2''') Identyczne reguły komutacyjne spełnia też [[Spin (fizyka)\|operator spinu]]. Dlatego także nie jest możliwy jednoczesny pomiaru wszystkich składowych spinu.

Grupa obrotów: Różnice pomiędzy wersjami