Grupa obrotów: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Dodano uwagę nt. reprezentacji grupy. |
|||
Linia 28:
Generatory spełniają regułę komutacji:
: <math>[T^a, T^b] = i \sum_c \epsilon_{a b c}T^c,</math>▼
gdzie <math>\epsilon_{a b c}</math> oznacza tzw. [[Symbol Leviego-Civity|'''symbol antysymetryczny''']]:▼
* <math>\epsilon_{a b c}=+1,</math> gdy liczby <math>abc</math> są parzystą [[permutacja|permutacją]] liczb 123,▼
* <math>\epsilon_{a b c}= -1,</math> gdy liczby <math>abc</math> są nieparzystą permutacją liczb 123,▼
* <math>\epsilon_{a b c}=\quad 0,</math> gdy dwie lub trzy liczby <math>a, b, c</math> są takie same.▼
: <math>[T^1, T^2] = i\, T^3,</math>
: <math>[T^2, T^3] = i\, T^1,</math>
: <math>[T^3, T^1] = i\, T^2.</math>
gdzie <math>[T^a, T^b] = T^a T^b - T^b T^a</math>- komutator.
Reguły komutacji można zapisać za pomocą wzoru
▲gdzie <math>\epsilon_{a b c}</math> oznacza tzw. [[Symbol Leviego-Civity|'''symbol antysymetryczny''']]:
▲*
▲*
▲*
Wielkości
:<math>f_{abc} = i\,\epsilon_{a b c},\quad a,b,c=1,2,3</math>
nazywa się '''stałymi struktury''' grupy, ponieważ (prawie) zupełnie determinują strukturą multiplikatywną grupy (tj. wyniki mnożenia elementów grupy przez siebie). Generatory razem z relacjami komutacji definiują algebrę Liego. Macierze <math>T^1,T^2,T^3\,</math> nazywa się reprezentacją algebry Liego. Macierze te nie są jedynymi macierzami, które spełniają te same warunki komutacji. Możliwe są więc różne '''reprezentacje''' macierzowe tej samej grupy.
'''Uwaga''': Grupa <math>SO(3)</math> jest '''grupą zwartą''', tzn. parametry <math>z_1,z_2,z_3</math> należą do [[Przestrzeń zwarta|zbioru zwartego]] <math>\Omega\subset R^3,</math> przy czym
: <math>z^a=\omega^a \psi,</math>
| |||