Wersja z 14:01, 22 cze 2018 edytuj AndrzeiBOT (dyskusja \| edycje) Boty 391 617 edycji m Poprawiam linki wewnętrzne i wykonuje drobne zmiany typograficzne i techniczne. ← poprzednia edycja		Wersja z 19:24, 26 lut 2019 edytuj anuluj edycję Beno (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy interfejsu, Administratorzy 133 099 edycji m WP:SK+Bn następna edycja →
Linia 1: '''Miara Hausdorffa''' – rodzaj [[Miara zewnętrzna\|miary zewnętrznej]], która przypisuje liczbę z zakresu <math>[0,\infty ]</math> do każdego zbioru w przestrzeni <math>\mathbb{R}^n</math> lub, bardziej ogólnie, w dowolnej [[Przestrzeń metryczna\|przestrzeni metrycznej]]. Zerowymiarowa miara Hausdorffa to liczba punktów w zbiorze (jeśli jest skończony) lub <math>\infty</math> jeśli jest nieskończony. Jednowymiarowa miara Hausdorffa [[Krzywa\|zwykłej krzywej]] w <math>\mathbb{R}^n</math> jest równa jej długości. Podobnie, dwuwymiarowa miara Hausdorffa [[Miara Lebesgue’a#Przegląd konstrukcji\|mierzalnego podzbioru]] w <math>\mathbb{R}^2</math> jest proporcjonalna do powierzchni tego zbioru. Stąd wynika, że miara Hausdorffa jest uogólnieniem wyliczenia, długości, powierzchni lub objętości. Istnieją <math>d</math>~~−wymiarowe~~-wymiarowe miary Hausdorffa dla dowolnego <math>d\~~geq~~geqslant 0,</math>, które niekoniecznie jest całkowite. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska [[Felix Hausdorff\|Feliksa Hausdorffa]]. Miary te są podstawowe w geometrycznej teorii miary. Pojawiają się one naturalnie w [[Analiza harmoniczna\|analizie harmonicznej]] lub [[Teoria potencjału\|teorii potencjału]]. == Definicja formalna == Niech <math>(X,\rho)</math> będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru <math> U\subset X,</math>, niech <math>\mathrm{diam}\;U</math> oznacza jego średnicę, to jest : <math>\mathrm{diam}\;U :=\sup\{\rho(x,y)\|x,y\in U\}, \quad \mathrm{diam}\;\emptyset:=0.</math>▼ Niech <math> S</math> będzie dowolnym podzbiorem <math> X,</math>, a <math> \delta>0</math> liczbą rzeczywistą. Definiuje się▼ ▲: <math>\mathrm{diam}\;U :=\sup\{\rho(x,y)\|x,y\in U\}, \quad \mathrm{diam}\;\emptyset:=0</math> : <math>H^d_\delta(S)=\inf\Bigl\{\sum_{i=1}^\infty (\operatorname{diam}\;U_i)^d: \bigcup_{i=1}^\infty U_i\supseteq S,\,\operatorname{diam}\;U_i<\delta\Bigr\}.</math>▼ Należy zauważyć, że <math> H^d_\delta(S)</math> zmniejsza się monotoniczne wraz z wzrostem <math>\delta,</math>, gdyż im większe jest <math>\delta,</math>, tym więcej zestawów zbiorów jest dozwolonych, powodując, że [[Kresy dolny i górny\|infimum]] jest mniejsze. Zatem granica <math>\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)</math> istnieje, lecz może być nieskończona. Niech ▼ ▲Niech <math> S</math> będzie dowolnym podzbiorem <math> X</math>, a <math> \delta>0</math> liczbą rzeczywistą. Definiuje się : <math> H^d(S):=\sup_{\delta>0} H^d_\delta(S)=\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S).</math>▼ Można zauważyć, że <math> H^d(S)</math> jest [[Miara zewnętrzna\|miarą zewnętrzną]]. Nazywa się ją <math> d</math>~~−wymiarową~~-wymiarową miarą Hausdorffa z <math> S.</math>. ▼ ▲: <math>H^d_\delta(S)=\inf\Bigl\{\sum_{i=1}^\infty (\operatorname{diam}\;U_i)^d: \bigcup_{i=1}^\infty U_i\supseteq S,\,\operatorname{diam}\;U_i<\delta\Bigr\}</math> Według powyższej definicji zbiory pokrywające są dowolne. Jednak mogą one być otwarte lub zamknięte, a i tak wywołają taką samą miarę, mimo, że przybliżenia <math> H^d_\delta(S)</math> mogą się różnić<ref name="Federed1969">Federer 1969, § 2.10.2.</ref>.▼ ▲Należy zauważyć, że <math> H^d_\delta(S)</math> zmniejsza się monotoniczne wraz z wzrostem <math>\delta</math>, gdyż im większe jest <math>\delta</math>, tym więcej zestawów zbiorów jest dozwolonych, powodując, że [[Kresy dolny i górny\|infimum]] jest mniejsze. Zatem granica <math>\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)</math> istnieje, lecz może być nieskończona. Niech ▲: <math> H^d(S):=\sup_{\delta>0} H^d_\delta(S)=\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)</math> ▲Można zauważyć, że <math> H^d(S)</math> jest [[Miara zewnętrzna\|miarą zewnętrzną]]. Nazywa się ją <math> d</math>−wymiarową miarą Hausdorffa z <math> S</math>. ▲Według powyższej definicji zbiory pokrywające są dowolne. Jednak mogą one być otwarte lub zamknięte, a i tak wywołają taką samą miarę, mimo, że przybliżenia <math> H^d_\delta(S)</math> mogą się różnić<ref name="Federed1969">Federer 1969, §2.10.2</ref>. == Własności == Jeśli <math>d</math> jest dodatnią liczbą całkowitą, <math>d</math> wymiarowa miara Hausdorffa w <math>\mathbb{R}^d</math> jest przeskalowaną typową <math>d</math>~~−wymiarową~~-wymiarową [[Miara Lebesgue’a\|miarą Lebesgue’a]] <math>\lambda_d,</math>, która jest znormalizowana w taki sposób, że miara ''[[Hipersześcian\|kostki]]'' jednostkowej <math>[0,1]^d</math> wynosi 1. Istotnie, dla dowolnego [[Zbiór borelowski\|zbioru borelowskiego]] <math>E</math> : <math>\lambda_d(E) = 2^{-d} \alpha_d H^d(E)\,</math> ▼ ▲: <math>\lambda_d(E) = 2^{-d} \alpha_d H^d(E)\,</math> gdzie <math>\alpha_d</math> to objętość [[Hiperkula\|hiperkuli]] jednostkowej : <math>\alpha_d = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(\frac{d}{2}+1)}.</math> Linia 31 ⟶ 26: == Związek z wymiarem Hausdorffa == Jedna z kilku możliwych równoważnych definicji [[Wymiar Hausdorffa\|wymiaru Hausdorffa]] to : <math>\~~operatorname{dim}_~~dim_{\mathrm{Haus}}(S)=\inf\{d\gegeqslant 0:H^d(S)=0\}=\sup\~~bigl~~big(\{d\gegeqslant 0:H^d(S)=\infty\}\cup\{0\}\~~bigr~~big),</math>▼ ▲: <math>\operatorname{dim}_{\mathrm{Haus}}(S)=\inf\{d\ge 0:H^d(S)=0\}=\sup\bigl(\{d\ge 0:H^d(S)=\infty\}\cup\{0\}\bigr)</math> gdzie przyjmuje się : <math>\inf\emptyset=\infty\,.</math>▼ ▲: <math>\inf\emptyset=\infty\,</math> == Zobacz też == * [[Miara (matematyka)\|~~Miara~~miara]] == Przypisy == Linia 45 ⟶ 38: == Bibliografia == * {{Cytuj książkę \|nazwisko=Federer \|imię=Herbert \| ~~nazwisko=Federer \|~~ tytuł=Geometric Measure Theory \| wydawca=Springer-Verlag \| rok=1969 \| isbn=3-540-60656-4}} * {{Cytuj pismo \|nazwisko=Szpilrajn \|imię=Edward \| ~~nazwisko=Szpilrajn \|~~ autor link=Edward Marczewski \| tytuł=La dimension et la mesure \| url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm28/fm28111.pdf \| czasopismo=Fundamenta Mathematicae \| wolumin=28 \| rok=1937 \| strony=~~81-89~~81–89 \| język=fr}} [[Kategoria:Geometria fraktalna]]

Miara Hausdorffa: Różnice pomiędzy wersjami