|
[[Plik:Cylindrical coordinates.png|thumb|300px|Walcowy układ współrzędnych]]
'''Walcowy układ współrzędnych''' ('''cylindryczny układ współrzędnych''') – [[układ współrzędnych]] w trójwymiarowej [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]]. Posługiwanie się układem cylindrycznym jest korzystne gdy trajektoria ruchu ma osiową (cylindryczną) symetrię<ref name=":0">{{Cytuj |autor = Lucjan Jacak |rozdział = Mechanika klasyczna. Układy współrzędnych -– kinematyka. |tytuł = Krótki wykład z fizyki ogólnej |data = 1994 |isbn = 83-7085-222-X |miejsce = Wrocław |wydawca = Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej |s = 10}}</ref>.
Układ cylindryczny tworzony jest przez trzy [[WersorWektor jednostkowy|wersory]] <math>\hat{n}_\rho,</math>, <math>\hat{n}_\phi,</math>, <math>\hat{n}_z,</math>, które zmieniają swoją orientację w przestrzeni w zależności od ruchu punktu <math>P\,</math><ref name=":1">{{Cytuj |autor = Lucjan Jacak |rozdział = Mechanika klasyczna. Układy współrzędnych -– kinematyka. |tytuł = Krótki wykład z fizyki ogólnej |data = 1994 |isbn = 83-7085-222-X |miejsce = Wrocław |wydawca = Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej |s = 8}}</ref>. Każdy punkt <math>P</math> przestrzeni zapisuje się w postaci trzech tzw. współrzędnych cylindrycznych <math>(\rho,\phi,z)\,</math>, gdzie poszczególne składowe wyrażają się następująco<ref name=":2">{{Cytuj |autor = Lucjan Jacak |rozdział = Mechanika klasyczna. Układy współrzędnych -– kinematyka. |tytuł = Krótki wykład z fizyki ogólnej |data = 1994 |isbn = 83-7085-222-X |miejsce = Wrocław |wydawca = Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej |s = 9}}</ref>:
: <math>\rho\,</math> —– promień cylindra przeprowadzonego przez punkt <math>P\,</math><ref name=":2" />,
: <math>\phi\,</math> —– kąt między osią <math>x</math> układu nieruchomego a płaszczyzną, w której znajduje się wektor wodzący <math>r(t)</math> i kierunek <math>\hat{n}_z</math><ref name=":2" />,
: <math>z\,</math> —– wysokość (ta sama współrzędna jak dla układu nieruchomego)<ref name=":2" />.
Można wyprowadzić wzór: <math>r(t) = \rho \hat{n}_\rho + z \hat{n}_z</math><ref name=":2" />.
Określenie prędkości następuje poprzez obliczenie pochodnej <math>r{:}</math>: <math>v(t) = \frac{dr \over }{dt} = \dot \rho \hat{n}_\rho + \rho \dot{\hat{n}}_\rho + \dot{z} \dot{\hat{n}}_z</math><ref name=":2" /> (gdzie <math>\dot{}</math> oznacza pierwszą [[Pochodna funkcji|pochodną]] względem czasu<ref name=":1" />). Wersor <math>{\hat{{n}}_z}</math> nie zmienia swojej orientacji i dlatego <math>\dot{\hat{{n}}_z} = 0,</math>, co pozwala na pominięcie go w powyższym równaniu<ref name=":2" />. Wersor <math>\dot{\hat{n}}_\rho</math> należy wyrazić poprzez niezmienne w czasie wersory <math>\hat{n}_x</math> i <math>\hat{n}_y</math> układu nieruchomego<ref name=":2" />.
: <math>\hat{n}_\rho = \hat{n}_x \cos \phi + \hat{n}_y \sin \phi </math><ref name=":2" />,
: <math>\hat{n}_\phi = -\hat{n}_x \sin \phi + \hat{n}_y \cos \phi </math><ref name=":2" />.
Zatem:
: <math>\dot{\hat{n}_\rho} = -\hat{n}_x \sin \phi \dot{\phi} + \hat{n}_y \cos \phi \dot{\phi} = \dot{\phi} \hat{n}_\phi </math><ref name=":2" />,
: <math>\dot{\hat{n}_\phi} = -\hat{n}_x \cos \phi \dot{\phi} - \hat{n}_y \sin \phi \dot{\phi} = - \dot{\phi} \hat{n}_\rho </math><ref name=":2" />.
Stąd prędkość:
: <math>v(t) = \dot{\rho} \hat{n}_\rho + \rho \dot{\phi} \hat{n}_\phi + \dot{z} \hat{n}_z </math><ref name=":2" />,
a jej długość:
: <math>\left\vert |v \right\vert| = \sqrt{(\dot{\phi})^2 + (\rho \dot{\phi})^2 + (\dot{z})^2} </math><ref name=":2" />.
Przyspieszenie:
: <math>a(t) = \frac{dv}{dt}
: <math>a(t) = {dv \over dt} = \ddot{\rho}\hat{n}_\rho + \dot{\rho}\dot{\phi}\hat{n}_\phi + \rho \ddot{\phi}
= \ddot\rho \hat{n}_\phirho + \dot\rho \dot{\phi}\dot{ \hat{n}}_\phi + \rho \ddot{z}\hat{n}_z =phi \hat{n}_\rhophi + (\ddot{\rho}-\rho (\dot{\phi})^2)+ \dot\hat{n}_\phi (2+ \dotddot{\rhoz}\dot{\phi}+\rho \ddothat{\phin}) + _z
= \hat{n}_\rho (\ddot\rho - \rho (\dot\phi)^2)+ \hat{n}_\phi (2\dot\rho \dot\phi + \rho \ddot\phi) + \hat{n}_z \ddot{z} </math> <ref name=":2" />
: <math>\left\vert |a \right\vert| = \sqrt{(\ddot{\rho} - \rho (\dot{\phi})^2)^2 + (2 \dot{\rho} \dot{\phi} + \rho \ddot\phi)^2 + (\ddot{z})^2}</math><ref name=":0" />.
\ddot{\phi})^2 + (\ddot{z})^2} </math><ref name=":0" />.
== Przykład zastosowania ==
Za pomocą współrzędnych cylindrycznych można bardzo łatwo opisać na przykład '''jednostajny ruch po okręgu<ref name=":0" />''':
: <math>\rho = R = const </math><ref name=":0" />,
: <math>\phi = \omega t, \omega = const </math><ref name=":0" />,
: <math>z = 0 </math><ref name=":0" />
oraz:
: <math>r(t) = R \hat{n}_\rho </math><ref name=":0" />,
: <math>v(t) = \omega R \hat{n}_\phi </math><ref name=":0" />,
: <math>a(t) = -\omega^2 R \hat{n}_\rho </math><ref name=":0" />.
== Zobacz też ==
| 