Własność Banacha-Saksa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m Dodaję nagłówek przed Szablon:Przypisy |
m drobne techniczne |
||
Linia 2:
'''Własność Banacha-Saksa''' – własność niektórych [[przestrzeń unormowana|przestrzeni unormowanych]] polegająca na tym, że każdy [[funkcja ograniczona|ograniczony]] [[ciąg (matematyka)|ciąg]] punktów w przestrzeni unormowanej ma [[podciąg]] ''[[granica ciągu|zbieżny]] według średniej'' (inne nazwy: ''[[Sumowalność metodą Cesàro|sumowalny w sensie Cesàro]]'', ''limesowalny''), tzn. jeżeli dla każdego ograniczonego ciągu (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''</sub> jej punktów istnieje podciąg (''x''<sub>''n''<sub>k</sub></sub>)<sub>''k''</sub> o tej własności, że ciąg
: <math>\left(\frac{x_{n_1}+\ldots+x_{n_k}}{k}\right)_{k=1}^\infty</math>
jest [[granica ciągu|zbieżny]] (w sensie normy). Ciągi mające powyższą własność nazywane są ''ciągami Banacha-Saksa''.
Linia 20 ⟶ 21:
[[Operator liniowy ograniczony|Operator ograniczony]] ''T'' między przestrzeniami Banacha ''X'' i ''Y'' nazywany jest ''operatorem Banacha-Saksa'', jeżeli każdy ograniczony ciąg (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''</sub> punktów przestrzeni ''X'' ma taki podciąg (''x''<sub>''n''<sub>k</sub></sub>)<sub>''k''</sub>, że ciąg
: <math>\left(\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k Tx_{n_i}\right)_{k=1}^\infty</math>
jest zbieżny w przestrzeni ''Y''. Analogicznie definiuje się pojęcie ''słabego operatora Banacha-Saksa'', zastępując warunek ograniczoności ciągu warunkiem słabej zbieżności do zera.
Linia 27 ⟶ 29:
Jeżeli ''p'' ≥ 1 jest ustaloną [[liczby rzeczywiste|liczbą rzeczywistą]], to o ciągu ograniczonym (''x''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''</sub> elementów przestrzeni Banacha ''X'' mówi się, że jest ''p-BS-ciągiem'', gdy zawiera taki podciąg (''x''<sub>''n''<sub>k</sub></sub>)<sub>''k''</sub>, że
:<math>\sup_{m\in \mathbb{N}}\frac{1}{m^{\frac{1}{p}}}\Bigg\|\sum_{i=1}^m x_{n_i}\Bigg\|<\infty.</math>
O przestrzeni Banacha mówi się, że ma ''własność p-BS'' jeżeli każdy ciąg jej elementów zbieżny słabo do 0 zawiera podciąg będący ''p''-BS-ciągiem<ref>E.M. Semenov, F.A. Sukochev, ''The Banach–Saks index'', Mat. Sb., 195:2 (2004), ss. 117–140.</ref><ref>S.V. Astashkin, E.M. Semenov, F.A. Sukochev, ''The Banach-Saks p-property'', Math.Ann., 332 (2005), no. 4, ss. 879-900.</ref>. Pojęcie własności ''p''-BS nie uogólnia pojęcia własności Banacha-Saksa. W szczególności, każda przestrzeń Banacha ma własność 1-BS. Zbiór
:<math>\Gamma(X)=\{p\geq 1\colon\, X\mbox{ ma własność }p-\operatorname{BS}\}</math>
jest postaci [0, ''γ''<sub>0</sub>) bądź [0, ''γ''<sub>0</sub>], gdzie ''γ''<sub>0</sub> jest pewną liczbą nie mniejszą od 1. Jeżeli Γ(''X'') = [0, ''γ''<sub>0</sub>], to ''indeks Banacha-Saksa'' ''γ''(''X'') przestrzeni ''X'' definiuje się jako ''γ''(''X'') = ''γ''<sub>0</sub> natomiast, gdy Γ(''X'') = [0, ''γ''<sub>0</sub>), to ''γ''<sub>0</sub> = 0. Przykładem przestrzeni mającej własność 2-BS jest ''L''<sub>2</sub>(0,1).
| |||