Granica funkcji: Różnice pomiędzy wersjami

''Uwaga'': twierdzenie to jest prawdziwe również dla granic w nieskończoności.

** Należy pamiętać, że [[twierdzenie odwrotne]] nie jest prawdziwe, np. to, że <math>\lim_{x \to \infty}~\tfrac{\sin x}{x} = 0,</math> nie oznacza, że istnieją granice <math>\lim_{x \to \infty}~\sin x</math> czy <math>\lim_{x \to \infty}~\tfrac{1}{x}.</math> W podanym przykładzie granica <math>\lim_{x \to \infty}~\sin x</math> nie istnieje, natomiast <math>\lim_{x \to \infty}~\tfrac{1}{x} = 0.</math>

: Jeśli funkcja <math>f\colon A \to \mathbb R</math> ma w punkcie <math>x_0</math> granicę <math>\lim_{x \to x_0}~f(x) = y_0,</math> funkcja <math>g\colon B \to \mathbb R</math> ma w punkcie <math>y_0</math> granicę <math>\lim_{y \to y_0}~g(y) = z_0,</math> przy czym <math>x_0</math> i <math>y_0</math> są odpowiednio punktami skupienia zbiorów <math>A \cap f^{-1}(B)</math> oraz <math>B,</math> przy czym <math>f(x) \ne y_0</math> dla każdego <math>x</math> z pewnego [[Otoczenie (matematyka)|sąsiedztwa]] punktu <math>x_0,</math> to <math>\lim_{x \to x_0}~(g\circ f)(x) = \lim_{y \to y_0}~g(y) = z_0.</math>