Wersja z 00:34, 17 mar 2020 edytuj Kocio (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 46 588 edycji Nie podano opisu zmian Znacznik: Edytor kodu źródłowego 2017 ← poprzednia edycja		Wersja z 11:00, 4 sie 2020 edytuj anuluj edycję Beno (dyskusja \| edycje) Redaktorzy, Administratorzy interfejsu, Administratorzy 133 401 edycji m WP:SK+Bn następna edycja →
Linia 1: [[~~plik~~Plik:Noether theorem 1st page.png\|mały\| Pierwsza strona artykułu ~~"Invariante~~„Invariante ~~Variationsprobleme"~~Variationsprobleme” (1918), w którym Noether dowiodła swojego twierdzenia.]] '''Twierdzenie Noether''' – twierdzenie udowodnione przez [[Emmy Noether]], dotyczące związku [[Prawa zachowania\|zasad zachowania]] z [[Symetria (fizyka)\|symetriami]] ciągłymi. Ma fundamentalne znaczenie w [[fizyka\|fizyce]]. == Symetrie ciągłe, grupy symetrii, generatory, grupy Liego == (1) Symetrie ciągłe to np. obroty, translacje. (2) Symetrie tworzą [[Grupa (matematyka)\|grupę]]. (3) Każda symetria jest opisana jednym parametrem i jednym generatorem. (4) Generatory grupy symetrii tworzą grupę, tzw. [[grupa Liego\|grupę Liego]]. Spośród grup symetrii ważną rolę w fizyce odgrywają: ▼ ▲Spośród grup symetrii ważną rolę w fizyce odgrywają: * grupa obrotów w przestrzeni euklidesowej SO(n) * grupa translacji w przestrzeni euklidesowej * grupa transformacji ortogonalnych w przestrzeni euklidesowej O(n) * [[grupa Lorentza]] obrotów w przestrzeni pseudoeuklidesowej * [[grupa Poincarégo]] * grupa przekształceń unitarnych U(n) oraz SU(n). == Twierdzenie Noether == Każda ciągła [[Symetria ~~fizyczna~~(fizyka)\|symetria]] praw fizyki, czyli taka, która nie zmienia * równań opisujących prawa fizyki ▼ * lub '''[[Działanie (fizyka)\|działania]]''' S, tj. wielkości definiowanej przez [[Mechanika Lagrange’a\|mechanikę ~~Lagrange'a~~Lagrange’a]]▼ generuje tyle praw zachowania, ile jest ▼ ▲* równań opisujących prawa fizyki * niezależnych parametrów opisujących daną grupę Liego lub ▼ ▲* lub '''[[Działanie (fizyka)\|działania]]''' S, tj. wielkości definiowanej przez [[Mechanika Lagrange’a\|mechanikę Lagrange'a]] * generatorów grupy Liego.▼ ▲generuje tyle praw zachowania, ile jest ▲* niezależnych parametrów opisujących daną grupę Liego lub ▲* generatorów grupy Liego == Symetrie dyskretne == '''Symetrie dyskretne''' mogą generować prawa zachowania (np. symetria inwersji <math>x \mapsto -x</math> generuje zachowanie parzystości <math>P</math>), ale nie muszą (np. inwersja w czasie <math>t \mapsto -t</math> nie generuje prawa zachowania). == Przykład: symetrie ciągłe == Linia 39 ⟶ 36: (1) Zasada zachowania '''energii''' wynika z niezmienniczości działania względem '''przesunięcia w [[czas]]ie''': jeżeli działanie S opisujące dany ruch układu nie zależy od czasu, to energia układu jest zachowana. Jeżeli natomiast układ absorbuje lub emituje energię, to wówczas działanie jest funkcją czasu – w konsekwencji energia układu zmienia się. (2) Zasada zachowania '''pędu''' odzwierciedla niezmienniczość działania S (oraz równań ruchu opisujących układ) względem '''przesunięcia układu w przestrzeni'''. Gdy rozpatrujemy translacje w [[~~Przestrzeń~~Czasoprzestrzeń Minkowskiego\|przestrzeni Minkowskiego]], to zasadę zachowania pędu określa się jako zachowanie [[Tensor napięć-energii~~-pędu~~\|tensora energii-pędu]]. (3) Zasada zachowania '''momentu pędu''' wiąże się z niezmienniczością działania S (oraz równań ruchu opisujących układ) względem '''obrotu układu'''. Jeśli obroty rozpatrujemy w przestrzeni Minkowskiego, to zasada ta oznacza zachowanie całkowitego momentu pędu, tzn. włącznie ze [[Spin (fizyka)\|spinowym]] (Patrz np. [[Równanie Diraca#Operator spinu\|równanie Diraca]], operator spinu)▼ ▲(3) Zasada zachowania '''momentu pędu''' wiąże się z niezmienniczością działania S (oraz równań ruchu opisujących układ) względem '''obrotu układu'''. Jeśli obroty rozpatrujemy w przestrzeni Minkowskiego, to zasada ta oznacza zachowanie całkowitego momentu pędu, tzn. włącznie ze [[Spin (fizyka)\|spinowym]] (Patrz np. [[Równanie Diraca#Operator spinu\|równanie Diraca]], operator spinu) (4) Zasada zachowanie '''ładunku''' wynika z niezmienniczości [[funkcja falowa\|funkcji falowej]] elektronu względem [[transformacja cechowania\|'''transformacji cechowania''']], takiej że:▼ ▲(4) Zasada zachowanie '''ładunku''' wynika z niezmienniczości [[funkcja falowa\|funkcji falowej]] elektronu względem [[~~transformacja~~Cechowanie ~~cechowania~~(fizyka)\|'''transformacji cechowania''']], takiej że: : <math>\psi(\vec x, t) \mapsto \psi'(\vec x, t)=e^{i \alpha} \psi(\vec x, t)</math> Transformacje <math>e^{i \alpha}</math> generowane są przez ciągły kąt <math>\alpha.</math>. Istnieje więc jeden generator, który tworzy [[podgrupa normalna\|prostą grupę]] Liego jednowymiarowych [[macierz unitarna\|macierzy unitarnych]] <math>U(1).</math>. Gdy zmiana kąta w czasie i przestrzeni <math>\alpha(\vec x, t)</math> nie zmienia podstawowych praw fizyki, to lokalna grupa cechowania <math>U(1)</math> wskazuje na istnienie fundamentalnego [[oddziaływanie elektromagnetyczne\|oddziaływania elektromagnetycznego]]. == Zobacz też ==

Twierdzenie Noether: Różnice pomiędzy wersjami