|
'''Gaz Fermiego''', ('''gaz elektronowy Fermiego''', '''gaz fermionów''') jest to model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących [[fermionFermiony|fermionów]]ów. Jest [[mechanika kwantowa|kwantowomechanicznym]] odpowiednikiem klasycznego [[Gaz doskonały|gazu doskonałego]] dla cząstek podlegających [[statystyka Fermiego-Diraca|statystyce Fermiego-Diraca]]. Zachowanie [[elektron]]ów w [[Metale|metalach]] i [[półprzewodnikPółprzewodniki|półprzewodnikach]]ach, [[neutron]]ów w [[gwiazda neutronowa|gwiazdach neutronowych]] może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytuacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.
== Opis matematyczny ==
Cząsteczki gazu są w takiej sytuacji opisywane przez [[Statystyka Fermiego-Diraca|statystykę Fermiego-Diraca]].
Najprostszy [[operator Hamiltona|hamiltonian]] dla takich nieoddziałujących fermionów w [[przestrzeń Foka|przestrzeni Foka]] można zapisać, wykorzystując [[operatory kreacji i anihilacji]]:
:: <math>\hat{H} = \sum_{n}sum_n\epsilon_{n}epsilon_n a^{\dagger}_{n}a_{n}dagger_n a_n = \sum_{n}sum_n(E _{n}E_n + \mu)a^{\dagger}_{n}a_{n}dagger_n a_n,</math>
gdzie:
: ''E''<submath>''n''E_n</submath> – energia ''<math>n''</math>-tego stanu,
: ''μ''<math>\mu</math> – [[potencjał chemiczny]].
== Energia wewnętrzna gazu Fermiego ==
Do dalszych obliczeń przyjmiemy ''μ'' <math>\mu = 0.</math>
Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:
:: <math>N = \int\limits _{0} limits_0^{\infty} dE \rho(E) \frac{1}{\exp(\beta E ) + 1},</math>
gdzie:
: <math>\rho(E) = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \sqrt{E}</math> – [[gęstość stanów]],
: ''<math>m''</math> – masa fermionów,
: ''<math>h''</math> – [[stała Plancka]],
: ''<math>V''</math> – objętość, w której znajdują się fermiony,
: <math>\frac{1}{\exp(\beta E ) + 1}</math> – [[Statystyka Fermiego-Diraca|rozkład Fermiego-Diraca]],
: <math>\beta = \frac{1}{k_{B}k_B T}</math> – czynnik Boltzmanna,
: <math>N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \int\limits _{0} limits_0^{\infty} dE \sqrt{E} \frac{1}{\exp(\beta E ) + 1}.</math>
Stosując proste podstawienie otrzymujemy:
:: <math>N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \beta ^{-\frac{3}{2}} \int\limitslimits_0^\infty _{0}dx \frac{x^{\inftyfrac{1}{2}}}{\exp(x) dx+ 1}.</math>
\frac{ x ^{ \frac{1}{2} } }{\exp( x ) + 1}</math>
Wartością powyższej całki jest funkcja [[funkcjaFunkcja etaη|eta Dirichleta]] od 3/2 razy [[funkcjaFunkcja gammaΓ|gamma Eulera]] od 3/2 <math>\Gamma \left(\frac{3}{2} \right)\eta \left(\frac{3}{2} \right).</math>. Ostatecznie otrzymujemy:
:: <math>N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} (kk_B _{B}T) ^{\frac{3}{2}}\Gamma \left(\frac{3}{2} \right) \eta \left(\frac{3}{2} \right).</math>
Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:
: <math>U = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} \int\limits _{0} limits_0^{\infty} dE \frac{ E^{\frac{3}{2}} }{\exp(\beta E ) + 1},</math>
otrzymujemy:
:: <math>U = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} (kk_B _{B}T) ^{\frac{5}{2}} \Gamma \left(\frac{5}{2} \right) \eta \left(\frac{5}{2} \right).</math>
Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:
:: <math>U = \frac{5}{2} \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) } N Nk_B k_{B}T \propto N k_{B}k_B T.</math>
Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.
== Ciśnienie gazu Fermiego ==
Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:
:: <math>p = \frac{\partial U}{\partial V} = \frac{5}{2} \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) } \frac{\partial N}{ \partial V} k_{B}k_B T.</math>
Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy
:: <math>\frac{\partial N}{ \partial V} = \frac{N}{V} = n,</math>
gdzie:
: ''<math>n''</math> – liczba cząstek w danej objętości, nazywana [[KoncentracjaGęstość (fizyka)liczbowa|koncentracją]] cząstek. Stąd
:: <math>p = \frac{5}{2} \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) } n k_{B}k_B T
\propto n k_{B}k_B T.</math>
== Zobacz też ==
| 