Preferencje homotetyczne: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
m drobne redakcyjne |
||
Linia 1:
W teorii konsumenta preferencje są nazywane homotetycznymi, jeśli mogą być reprezentowane przez [[Funkcja użyteczności|funkcję użyteczności]], która jest homogeniczna stopnia 1.<ref name=":0">{{Cytuj |autor = Hal R. Varian |tytuł = Google |data dostępu = 2020-06-02 |isbn = 978-1-137-42904-9 |wydawca = Palgrave Macmillan | doi=10.1057/9781137429049.3893}}</ref>: Na przykład w gospodarce z dwoma towarami x, y, preferencje homotetyczne mogą być reprezentowane przez funkcję użyteczności u, która ma następującą właściwość: dla każdego a>0:
▲<math display="block">u(a*x,a*y)=a*u(x,y)</math>
W matematyce funkcja homotetyczna jest monotoniczną transformacją funkcji, która jest jednorodna<ref>{{Cytuj |autor = Simon Marginson, Chris Nyland, Erlenawati Sawir, Helen Forbes-Mewett |tytuł = References |data dostępu = 2020-06-02 |isbn = 978-0-511-75101-1 |miejsce = Cambridge |wydawca = Cambridge University Press |s = 467–500 | doi=10.1017/cbo9780511751011.020}}</ref>; jednak, ponieważ porządkowe funkcje użyteczności są definiowane tylko z dokładnością do przekształcenia monotonicznego, w teorii konsumenta istnieje niewielkie rozróżnienie między tymi dwoma pojęciami<ref name=":0" />.
Linia 8 ⟶ 7:
Co więcej, pośrednia funkcja użyteczności może być zapisana jako liniowa funkcja majątku (w):
▲<math display="block">v(p_x,p_y,w)=f(p_x,p_y ) *w</math>
co jest szczególnym przypadkiem formy polarnej Gormana. Dlatego też, jeśli wszyscy konsumenci mają preferencje homotetyczne (o tym samym współczynniku w odniesieniu do majątku), to [[Popyt zagregowany|zagregowany popyt]] można obliczyć poprzez uwzględnienie tylko jednego "reprezentatywnego konsumenta", który ma te same preferencje i ten sam zagregowany dochód<ref name=":0" />.
Linia 15 ⟶ 13:
== Przykłady ==
Funkcje użyteczności o stałej elastyczności substytucji (CES) są homotetyczne. Mogą być one reprezentowane przez funkcję użyteczności, taką jak:
: <math
▲<math display="block">u(x,y) = \left(\left({x\over w_x}\right)^r + \left({y\over w_y}\right)^r\right)^{1/r}</math>
Funkcja ta jest jednolita dla stopnia 1:
: <math
</math>▼
▲<math display="block">u(a x,a y) = \left(a^r\left({x\over w_x}\right)^r + a^r\left({y\over w_y}\right)^r\right)^{1/r} = (a^r)^{1/r} \left(\left({x\over w_x}\right)^r + \left({y\over w_y}\right)^r\right)^{1/r} = a u(x,y)
▲</math>
Liniowe funkcje użyteczności, funkcje użyteczności Leontiefa i [[Funkcja Cobba-Douglasa|Cobba-Douglasa]] są szczególnymi przypadkami funkcji CES, a zatem są również homotetyczne.
Z drugiej strony, [[Użyteczność quasi-liniowa|quasiliniowe funkcje użyteczności]] nie zawsze są homotetyczne. Na przykład funkcja <math>u(x,y)=x+\sqrt{y},</math> nie może być reprezentowana jako funkcja jednorodna.
== Międzyokresowość vs. wewnątrzokresowość preferencji homotetycznych ==
Preferencje są międzyokresowo homotetyczne, jeśli w tym samym czasie konsumenci o różnych dochodach, ale mający te same ceny i identyczne preferencje będą domagać się towarów w tych samych proporcjach.
| |||