Lemat Kuratowskiego-Zorna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Planuję rozbudować artykuł + poprawić TeX + więcej o równoważnościach |
Kilka zmian, do końca daleko |
||
Linia 3:
'''[[Lemat]] Kuratowskiego-Zorna''' – jedno z podstawowych narzędzi dowodzenia twierdzeń, które stwierdzają istnienie pewnych obiektów w [[teoria mnogości|teorii mnogości]] i innych działach matematyki. W krajach anglosaskich bardziej znany jako ''Lemat Zorna''. Oto jedno ze sformułowań lematu:
:Każdy niepusty [[zbiór]] [[częściowy porządek|częściowo uporządkowany]], w którym każdy [[łańcuch (teoria mnogości)|łańcuch]] (tzn. [[podzbiór]] [[porządek liniowy|liniowo uporządkowany]]) ma ograniczenie górne, zawiera co najmniej jeden [[element maksymalny]].▼
▲Każdy niepusty [[zbiór]] [[częściowy porządek|częściowo uporządkowany]], w którym każdy [[łańcuch (teoria mnogości)|łańcuch]] (tzn. [[podzbiór]] [[porządek liniowy|liniowo uporządkowany]]) ma ograniczenie górne, zawiera co najmniej jeden [[element maksymalny]].
;Definicje pojęć:
:Załóżmy, że ''(P, ≤)'' jest zbiorem częściowo uporządkowanym. Podzbiór ''T'' jest ''liniowo uporządkowany'', jeśli dla każdych ''s, t ∈T'' zachodzi ''s ≤ t'' lub ''t ≤ s''. Taki zbiór ''T'' ma ''górne ograniczenie'' ''u ∈ P'', jeśli ''t ≤ u'' dla każdego ''t ∈ T''. ''Element maksymalny'' zbioru ''P'' to takie ''m'', że jedynym elementem ''x ∈ P'', dla którego ''m ≤ x'' jest właśnie ''x = m''.
Lemat Kuratowskiego-Zorna jest równoważny [[aksjomat wyboru|aksjomatowi wyboru]], w takim sensie, że każdy z nich można udowodnić przy pomocy drugiego i z użyciem [[aksjomaty Zermelo-Fraenkela|aksjomatów Zermelo-Fraenkela]] z [[teoria mnogości|teorii mnogości]]. Jest to prawdopodobnie najbardziej użyteczny równoważnik aksjomatu wyboru i występuje w dowodach kilku twierdzeń o podstawowym znaczeniu. Ogólniej, istnieje większa liczba twierdzeń równoważnych Lematowi Kuratowskiego-Zorna pojęciowo związanymi nie tylko z teorią mnogości:
* [[Pewnik wyboru]]
* Jeśli <math>|A|</math> jest zbiorem nieskończonym o mocy <math>\kappa</math>, to zbiór <math>A\times A</math> jest mocy <math>\kappa</math>.
* Prawo trychotomii: Dla dowolnych zbiorów <math>A,B</math>: <math>|A|=|B|</math> albo <math>|A|>|B|</math> albo <math>|A|<|B|</math>.
* [[Iloczyn kartezjański]] dowolnej rodziny zbiorów niepustych jest niepusty.
* Twierdzenie König'a: Jeśli <math>I</math> jest zbiorem oraz <math>\mathfrak{m}_i, \mathfrak{n}_i</math> są takimi liczbami kardynalnymi, że dla każdego <math>i\in I</math> spełniona jest nierówność <math>\mathfrak{m}_i< \mathfrak{n}_i</math>, wówczas
:<math>\sum_{i\in I}\mathfrak{m}_i<\prod_{i\in I}\mathfrak{n}_i</math>.
* Lemat Teichmüllera-Tukeya: Niech <math>\mathcal{W}</math> będzie własnością [[charakter (matematyka)|charakteru]] skończonego, mogącą przysługiwać podzbiorom pewnego zbioru <math>A</math>. Każdy podzbiór zbioru <math>A</math> mający własność <math>\mathcal{W}</math> jest zawarty w maksymalnym ze względu na inkluzję podzbiorze <math>A</math>, mającym własność <math>\mathcal{W}</math>.
* [[Twierdzenie Hausdorffa]].
* Każda [[przestrzeń liniowa]] ma [[baza (przestrzeń liniowa)|bazę]].
* Każdy [[pierścień (matematyka)|pierścień]] ma [[ideał maksymalny]].
* [[Twierdzenie Tichonowa]]: iloczyn [[przestrzeń zwarta|przestrzeni zwartych]] jest zwarty.
Przykłady:
*[[twierdzenie Hahna-Banacha]] w [[analiza funkcjonalna|analizie funkcjonalnej]].
*twierdzenie mówiące o tym, że
*
==Przykład zastosowania==
| |||