Wikipedia

Lemat Kuratowskiego-Zorna: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
m drobiazgi. Czym się różnią te dwa "przykłady" (były trzy, ale jeden niegramatyczny), od przykładów wyżej
m jeszcze latexowanie
Linia 6:
 
;Definicje pojęć:
:Załóżmy, że ''<math>(P,\ ≤\le)''</math> jest zbiorem częściowo uporządkowanym. Podzbiór ''<math>T''\ </math> jest ''liniowo uporządkowany'', jeśli dla każdych ''<math>s,\ t\in &isin;T''</math> zachodzi ''<math>s ≤\le t''</math> lub ''<math>t ≤\le s''</math>. Taki zbiór ''<math>T''\ </math> ma ''górne ograniczenie'' ''<math>u &isin;\in P''</math>, jeśli ''<math>t ≤\le u''</math> dla każdego ''<math>t &isin;\in T''</math>. ''Element maksymalny'' zbioru ''<math>P''\ </math> to takie ''<math>m''</math>, że jedynym elementem ''<math>x &isin;\in P''</math>, dla którego ''<math>m ≤\le x''</math> jest właśnie ''<math>\ x = m''</math>.
 
Lemat Kuratowskiego-Zorna jest równoważny [[aksjomat wyboru|aksjomatowi wyboru]], w takim sensie, że każdy z nich można udowodnić przy pomocy drugiego i z użyciem [[aksjomaty Zermelo-Fraenkela|aksjomatów Zermelo-Fraenkela]] z [[teoria mnogości|teorii mnogości]]. Jest to prawdopodobnie najbardziej użyteczny równoważnik aksjomatu wyboru i występuje w dowodach kilku twierdzeń o podstawowym znaczeniu. Ogólniej, istnieje większa liczba twierdzeń równoważnych Lematowi Kuratowskiego-Zorna, pojęciowo związanych nie tylko z teorią mnogości:
Linia 30:
Przyjrzyjmy się typowemu zastosowaniu lematu, użytego do udowodnienia, że każdy pierścień <math>R</math> zawiera ''[[ideał maksymalny]]''. Nasz zbiór <math>P</math> składa się ze wszystkich (dwustronnych) [[ideał (teoria pierścieni)|ideałów]] <math>R</math>, z wyjątkiem samego <math>R</math>. Zbiór <math>P</math> jest częściowo uporządkowany relacją zawierania podzbiorów. Nasz dowód będzie polegał na znalezieniu maksymalnego elementu z <math>P</math>. ''Ideał'' <math>R</math> został wykluczony, ponieważ ''ideały maksymalne'' z definicji nie są równe <math>R</math>.
 
Chcemy użyć lematu Kuratowskiego-Zorna, więc bierzemy <math>T</math> - liniowo uporządkowany podzbiór <math>P</math> i musimy pokazać, że <math>T</math> ma ograniczenie górne, czyli, że istnieje ''ideał'' <math>I</math> w <math>R</math>, który jest większy niż wszystkie elementy <math>T</math>, ale mniejszy niż <math>R</math> (inaczej nie byłby w <math>P</math>). Niech <math>I</math> będzie sumą wszystkich ''ideałów'' z <math>T</math>. <math>I</math> jest ideałem: jeśli <math>a</math> i <math>b</math> są elementami <math>I</math>, to istnieją dwa ideały <math>J</math> i <math>K</math> w <math>T</math> takie, że <math>a</math>\in &isin; <math>J</math> andi <math>b</math>\in &isin; <math>K</math>. Ponieważ <math>T</math> jest uporządkowane liniowo to wiemy, że <math>J</math> jest podzbiorem <math>K</math> lub odwrotnie. W pierwszym przypadku, zarówno <math>a</math> jak <math>b</math> są elementami ideału <math>K</math>, stąd ich suma <math>a+b</math> jest elementem <math>K</math> co pokazuje, że <math>a+b</math> jest elementem <math>I</math>. W drugim przypadku, i <math>a</math> i <math>b</math> są elementami ideału <math>J</math>. Podobnie dochodzimy do wniosku, że <math>a+b</math> jest zawarte w <math>I</math>. Co więcej, jeśli <math>R</math> jest elementem <math>R</math>, wtedy <math>ar</math> i <math>ra</math> są elementami <math>J</math>, a więc również elementami <math>I</math>. Pokazaliśmy, że <math>I</math> jest ideałem w <math>R</math>.
 
A oto istota dowodu: dlaczego <math>I</math> jest mniejsze niż <math>R</math>? Decydujące jest to, że ideał jest równy <math>R</math> wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera <math>1</math>. (Jest jasne, że jeśli jest równe <math>R</math>, to musi zawierać <math>1</math>, z drugiej strony, jeśli zawiera <math>1</math> i <math>R</math> jest dowolnym elementem <math>R</math>, to <math>r1 = R</math> jest elementem ideału, a więc ideał jest równy <math>R</math>). Więc jeśli <math>I</math> byłoby równe <math>R</math>, to zawierałoby <math>1</math>, a to oznacza, że jeden z elementów zbioru <math>T</math> zawierałby <math>1</math> co czyniłoby go równym <math>R</math> - ale jawnie wykluczyliśmy <math>R</math> z <math>P</math>.
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Lemat_Kuratowskiego-Zorna”