Wikipedia

Całka oznaczona: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
Propozycja
redir
Linia 1:
{{integruj|Całka#REDIRECT[[całka Riemanna}}]]
 
{{Dopracować|brak definicji (jest tylko pokazanie symbolu i intuicja)}}
{{Definicja|Dla funkcji dodatnich w przypadku dwuwymiarowym '''całka oznaczona''' to liczba określająca powierzchnię między wykresem funkcji a osią OX na wskazanym zbiorze, najczęściej przedziale.}}
'''Całka oznaczona''' [[funkcja (matematyka)|funkcji]] rzeczywistej ''f'' po zbiorze ''A'' jest to pewna '''liczba'''. Całka jest polem obszaru między osią X a linią wykresu funkcji. Gdy zbiór ''A'' jest przedziałem [''a'', ''b''], całkę funkcji ''f'' po tym przedziale oznacza się następująco:<br>
<center><math>\int\limits_a^b f(x)\;dx</math></center>
 
Najważniejsze definicje całek oznaczonych:
*[[całka Newtona-Leibniza]]
*[[całka Riemanna]]
*[[całka Lebesgue'a]]
*[[całka Haara]].
 
Od wyboru definicji zależy obszerność klasy funkcji całkowalnych, to jest mających całkę oznaczoną. W definicjach całki Newtona-Leibniza i całki Riemanna zakłada się, że ''f'' jest funkcją rzeczywistą określoną na pewnym przedziale [''a'', ''b''] zwanym '''przedziałem całkowania'''. Liczby ''a'' i ''b'' nazywamy '''granicami całkowania'''. W wypadku całki Lebesgue'a dziedziną funkcji jest [[miara Lebesgue'a|zbiór mierzalny w sensie Lebesgue'a]].
 
===Własności całki oznaczonej===
*Funkcja stała ''f''(''x'') = ''c'' jest całkowalna w każdym ze znaczeń tego słowa; jej całka od ''a'' do ''b'' jest równa ''c''&middot;(''b''&ndash;''a'').
*W każdym z podanych niżej związków z istnienia całek po prawej stronie równości wynika istnienie całek (w tym samym sensie) napisanych po lewej stronie:
** całka sumy (różnicy) dwóch funkcji równa jest sumie (różnicy) całek tych funkcji,
** całka iloczynu dowolnej funkcji przez jakąkolwiek stałą równa jest iloczynowi całki tej funkcji przez tę stałą,
** całka funkcji od ''a'' do ''b'' zsumowana z całką tej funkcji od ''b'' do ''c'' (gdzie ''a'' < ''b'' < ''c'') da w wyniku całkę od ''a'' do ''c''.
*Jeśli funkcje ''f'' i ''g'' są całkowalne (w dowolnym sensie) oraz jeśli ''f''(''x'') &le; ''g''(''x'') dla ''x'' &isin;(''a''; ''b''), to analogiczna nierówność zachodzi dla całek oznaczonych obu funkcji; wynika stąd w szczególności, że wartość bezwzględna całki z dowolnej funkcji jest niewiększa od całki z wartości bezwzględnej tej funkcji.
 
Całkę oznaczoną funkcji ''f'', przyjmującej w przedziale [''a'', ''b''] wartości nieujemne, można interpretować jako pole zawarte między wykresem tej funkcji, osią ''x'' oraz dwiema prostymi wystawionymi w punktach ''a'' i ''b''.
 
[[Grafika:Calka.svg]]
 
== Zobacz też ==
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]], [[całka]].
 
[[Kategoria:Całki]]
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Całka_oznaczona”