Twierdzenie Wilsona: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m →Dowód: kosmetyka |
+uogólnienie |
||
Linia 1:
'''Twierdzenie Wilsona''' to twierdzenie z teorii liczb. Mówi ono, że <math>p</math> jest [[Liczby pierwsze|liczbą pierwszą]] wtedy i tylko wtedy gdy <math>(p-1)! + 1\;</math> jest podzielna przez <math>p</math>.
Twierdzenie zostało odkryte przez [[John Wilson|Johna Wilsona]], będącego studentem [[Edward Waring|Edwarda Waringa]]. Jednak żaden z nich nie był w stanie go udowodnić. Dopiero w [[1773]] roku [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] dał przekonujący dowód. Istnieją również argumenty mówiące, że to [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] był pierwszym, który udowodnił to twierdzenie (chociaż nie opublikował dowodu).
Twierdzenie to daje potencjalną możliwość sprawdzenia dla każdej liczby naturalnej czy jest pierwsza. Jednak nie istnieją efektywne algorytmy obliczania [[silnia|silni]], dlatego twierdzenie to nie ma praktycznego znaczenia.
== Dowód ==
Najpierw załóźmy, że ''p'' jest liczbą pierwszą.
Twierdzenie zachodzi dla ''p''=2 oraz ''p''=3.
Linia 58 ⟶ 54:
'''Koniec dowodu'''
==Uogólnienie==
Istnieje uogólnienie twierdzenia Wilsona, autorstwa [[Carl Friedrich Gauss|Gaussa]]:
:<math>\prod_{a=1\atop \operatorname{NWD}(a,m)=1}^m \!\!a \ \equiv \ \left \{ \begin{matrix} 0\ (\mbox{mod }m) & \mbox{gdy } m=1 \\ -1\ (\mbox{mod }m) & \mbox{gdy } m=4,\;p^\alpha,\;2p^\alpha \\ \ \ 1\ (\mbox{mod }m) & \mbox{w innych wypadkach} \end{matrix} \right. </math>
gdzie <math>p</math> jest liczbą pierwszą większą od 2.
Dla <math>m=2</math> mamy <math>-1\equiv 1 (\mbox{mod }2),</math> więc równie dobrze można dodać <math>m=2</math> do drugiej gałęzi wzoru.
==Zobacz też==
| |||