Elementy minimalny i maksymalny: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m kat. |
integracja z element maksymalny |
||
Linia 1:
{{integruj z|element maksymalny}}
'''Elementem minimalnym''' w
:<math>\forall y \in P : y \le x \Rightarrow x = y</math>.
Dualnie, '''elementem maksymalnym''' w zbiorze częściowo uporządkowanym <math>(P, \leq)</math> nazywamy każdy taki element <math>x</math>, że nie ma w <math>P</math> elementów większych od niego. Symbolicznie:
=== Uwagi ===▼
:<math>\forall y \in P : x \le y \Rightarrow x = y</math>.
* W zbiorze częściowo uporządkowanym może istnieć więcej niż jeden element minimalny.
* Element minimalny nie musi być [[element najmniejszy|najmniejszym]]. Jeśli jednak w zbiorze istnieje element najmniejszy, to jest on równocześnie minimalny, i jest to wtedy jedyny element minimalny w tym zbiorze. Jeżeli w zbiorze istnieje dokładnie jeden element maksymalny, to nie musi on być elementem największym.
==Przykłady==
* Rozważmy zbiór ''N''∪{-1}, gdzie ''N'' oznacza [[liczby naturalne|zbiór liczb naturalnych]], a relacja '''~''' częściowego porządku określona jest następująco:
::<math>a\sim b\Leftrightarrow a\le b</math> dla <math>a, b \in N</math>
::<math>-1 \sim -1</math>
-1 jest jedynym elementem maksymalnym tej relacji lecz nie jest elementem największym.
* W zbiorze wszystkich rzek rozważmy relację częściowego porządku zdefiniowaną jako ''jest dopływem''. Mamy na przykład:
:"Białka" < "Dunajec" < "Wisła"
:"Poprad" < "Dunajec" < "Wisła"
:"Noteć" < "Warta" < "Odra"
Elementem maksymalnym w tym porządku jest każda rzeka, która nie jest dopływem innej rzeki – Wisła, Odra... Z przykładu widać, że istnieje wiele elementów maksymalnych i nie ma największego (byłaby nim rzeka, do której wpadają wszystkie inne).
==
* [[aksjomat wyboru]]
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],▼
* [[element najmniejszy i największy]],
▲* [[element maksymalny]],
[[Kategoria:Porządki]]
[[cs:Maximální a minimální prvek]]
[[en:minimal element]]▼
[[de:Maximales und minimales Element]]
[[zh:极小元]]▼
[[es:Elemento maximal]]
[[fr:Élément maximal]]
[[ro:Maximal]]
| |||