Twierdzenie Picarda: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
drobne redakcyjne; ustalenie wersji tw na podstawie en; -szablon "do weryfikacji" (patrz dyskusja) |
Uogólnienie |
||
Linia 10:
ma dokładnie jedno rozwiązanie <math>y=\varphi(x)</math> określone na przedziale <math>(x_0-\delta,x_0+\delta)</math>.
==Uogólnienie na przestrzenie Banacha==
Twierdzenie Picarda w naturalny sposób przenosi się na funkcje spełniające lokalny warunek Lipschitza określone na otwartych podzbiorach produktu prostej rzeczywistej i dowolnej [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]].
===Lokalny warunek Lipschitza===
Niech <math>Y</math> będzie przestrzenią Banacha oraz <math>D\subseteq \mathbb{R}\times Y</math> będzie zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja <math>f\colon D\to Y</math> spełnia '''lokalny warunek Lipschitza''' na zbiorze <math>D</math> wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt <math>(x_0, u_u)\in D</math> ma otoczenie, na którym <math>f</math> spełnia warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej.
===Twierdzenie Picarda===
Niech <math>Y</math> będzie przestrzenią Banacha oraz <math>D\subseteq \mathbb{R}\times Y</math> będzie zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja <math>f\colon D\to Y</math> jest ciągła oraz spełnia lokalny warunek Lipschitza względem drugiej współrzędnej na zbiorze <math>D</math>, to
* każde rozwiązanie równania <math>u^\prime=f(x,u)</math> daje się przedłużyć do rozwiązania globalnego,
* każde rozwiązanie globalne powyższego równania jest funkcją określoną na przedziale otwartym,
* dla każdego punktu <math>(x_0, u_0)\in D</math> istnieje dokładnie jedno rozwiązanie globalne spełniające warunek początkowy <math>u(x_0)=u_0</math>.
==Bibliografia==
#{{cytuj książkę|imię=Witold|nazwisko=Kołodziej|tytuł=Analiza matematyczna|miejsce=Warszawa|wydawca=PWN|rok=1979|strony=193-196}}
==Zobacz też==
* [[twierdzenie Peano]]
* [[twierdzenie Cauchy'ego-Kowalewskiej]]
==Linki zewnętrzne==
| |||