Analiza funkcjonalna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
operatory |
o operatorach i o nieskończeniewymiarności |
||
Linia 1:
'''Analiza funkcjonalna''' – dział [[analiza matematyczna|analizy matematycznej]] zajmujący się badaniem własności [[przestrzeń funkcyjna|przestrzeni funkcyjnych]]. Rozwinął się w trakcie studiów nad [[Funkcja|odwzorowaniami]] zwanymi
Słowo ''funkcjonał'' pochodzi z [[rachunek wariacyjny|rachunku wariacyjnego]], gdzie oznacza funkcję, której argument jest [[funkcja|funkcją]]
Upowszechnienie analizy funkcjonalnej zawdzięcza się [[matematyk]]owi i [[fizyk]]owi [[Vito Volterra|Vito Volterrze]], a stworzenie jej podstaw przypisuje się [[Stefan Banach|Stefanowi Banachowi]], aczkolwiek część wyników uzyskał niezależnie na początku drugiej połowy [[XIX wiek]]u [[Węgry|węgierski]] matematyk
[[József Szoboszló]], jego prace zaginęły jednak podczas rewizji żandarmerii cesarskiej i odkryto je dopiero w latach 90. [[XX wiek]]u.
==Przestrzenie unormowane==
Obecnie na analizę funkcjonalną patrzy się zazwyczaj jako na badanie [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowych]] [[przestrzeń unormowana|unormowanych]] [[przestrzeń zupełna|zupełnych]] nad [[Ciało (matematyka)|ciałem]] liczb [[liczby rzeczywiste|rzeczywistych]] lub [[liczby zespolone|zespolonych]]. Takie przestrzenie noszą nazwę [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]]. Ważnym przykładem jest [[przestrzeń Hilberta]], w której norma pochodzi od [[iloczyn skalarny|iloczynu skalarnego]]. Przestrzenie Hilberta mają podstawowe znaczenie w matematycznym sformułowaniu [[mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]]. W ogólności analiza funkcjonalna zajmuje się również badaniem [[przestrzeń Frécheta|przestrzeni Frécheta]] i innych [[przestrzeń liniowo-topologiczna|przestrzeni liniowo-topologicznych]], w których nie ma normy.
Typowe przestrzeni liniowe badane w analizie funkcjonalnej są głównie nieskończeniewymiarowymi, ponieważ skończeniewymiarowe przestrzeni są badane w [[algebra liniowa|algebrze liniowej]]. Dlatego można powedzieć że analiza funkcjonalna jest uogólnieniem algebry liniowej.
Ważnym obiektem badań analizy funkcjonalnej są [[funkcja ciągła|ciągłe]] przekształcenia (funkcjonały) liniowe na przestrzeniach Banacha i Hilberta. Własności przestrzeni takich funkcjonałów uogólniają się do pojęć [[C*-algebra|C*-algebr]] i innych algebr operatorów.
| |||