Wikipedia

Równanie różniczkowe cząstkowe: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie
[wersja nieprzejrzana][wersja nieprzejrzana]
← poprzednia edycjanastępna edycja →
Usunięta treść Dodana treść
WizualnieWikikod
MastiBot (dyskusja | edycje)
Boty
3 418 489 edycji
Konradek (dyskusja | edycje)
12 936 edycji
Linia 4:
 
== Podstawowa definicja ==
Ustalmy liczbę całkowitąNiech <math>k \gegeqslant 1</math> będzie liczbą całkowitą, niecha <math>U</math> będzie otwartym podzbiorem <math>\mathbb R^n</math>. Równanie postaci:
<math>F(D^ku(x), D^{k-1}u(x), \ldots, Du(x), u(x), x) = 0\, (x \in U)</math> nazywa się '''równaniem różniczkowym cząstkowym <math>k</math>-tego rzędu'''.
 
Funkcja <math>F(D\colon \mathbb R^ku(x),{n^k} D\times \mathbb R^{n^{k-1}u(x),} ...,\times Du(x),\ldots u(x),\times x)\mathbb =R^n 0\,times \mathbb (xR \intimes U) \to \mathbb R</math> nazwiemyjest '''równaniem różniczkowymdana, cząstkowymnatomiast <math>ku\colon U \to \mathbb R</math>-tego rzędu'''jest niewiadomą.
 
Funkcja <math>F: R^{n^k} \times R^{n^{k-1}} \times ... \times R^n \times R \times U \to R</math> jest dana, natomiast <math>u: U \to R</math> jest niewiadomą.
 
<math>D^k u(x) := \{D^\alpha u(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}...\partial x_n^{\alpha_n}}| |\alpha| = k\}</math>.▼
 
<math>\alpha = (\alpha_1, ..., \alpha_n)</math> o nieujemnych współrzędnych całkowitych <math>\alpha_i</math> nazywamy '''wielowskaźnikiem''' długości
<math>|\alpha| = \alpha_1 + ... + \alpha_n</math>.
 
▲:<math>D^k u(x) := \{D^\alpha u(x) = \frac{\partial^{|\alpha|}u(x)}{\partial x_1^{\alpha_1}...\ldots\partial x_n^{\alpha_n}}| |\alpha| = k\}</math>.,
gdzie <math>\alpha</math> jest [[notacja wielowskaźnikowa|wielowskaźnikiem]].
 
== Przykłady ==
Źródło: „https://pl.wikipedia.org/wiki/Równanie_różniczkowe_cząstkowe”