Funkcja gęstości prawdopodobieństwa: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
w tak podstawowym artykule wstawka dotycząca mechaniki kwantowej powinna być napisana w sposób prosty - nie ma tu miejsca na jakieś stosunki prawdopodobieństw i inne hiperpoprawności. |
uporządkowanie |
||
Linia 5:
:<math>P(B)=\int\limits_B f(x) dx</math>.
Jeśli <math>f</math> jest gęstością rozkładu <math>P</math>, to w szczególności, na mocy powyższej definicji:
:<math>\int\limits_{\mathbb{R}^N} f(x) dx=1</math>.
W drugę stronę, każda [[funkcja dodatnia|nieujemna]] funkcja borelowska <math>f</math>, spełniająca powyższy warunek, jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa.
==Wybrane ====Dystrybuanta==== Załóżmy, że <math>f</math> jest gęstością rozkładu <math>P</math>. :<math>\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt=P((-\infty, x])=F_P(x)</math>,
gdzie <math>F_P</math> jest [[dystrybuanta|dystrybuantą]] rozkładu <math>P</math> - gęstość (o ile istnieje) pozwala przy swojej pomocy wyrazić w prosty sposób dystrybuantę rozkładu, co często bywa przydatne, gdy dystrybuanta nie daje się wyrazić w sposób [[całka elementrarna|elementarny]] (np. [[rozkład normalny]]). Z powyższego związku między gęstością a dystrybuantą można zauważyć, że warunkiem koniecznym istnienia gęstości jest aby dystrybuanta rozkładu była prawie wszędzie ciągła - nie jest to jednak warunek wystarczający - istnieją dystrybuanty ciągłe, które nie mają gęstości (np. [[funkcja Cantora|dystrybuanta Cantora]]). Warunkami wystarczającymi na istnienie gęstości dla danego rozkładu jest [[bezwzględna ciągłość]] bądź ograniczone wahanie jego dystrybuanty.
Linia 14 ⟶ 17:
Jeśli <math>F</math> jest dystrybuantą to jest ona prawie wszędzie [[pochodna|rózniczkowalna]] oraz jeśli <math>F^\prime</math> (określona prawie wszędzie) jest prawie wszędzie różna od zera, to jest ona gęstością.
====Wartość oczekiwana====
:<math>E(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty x f(x) dx</math>.
* Jeżeli <math>X</math> i <math>Y</math> są [[niezależność zmiennych losowych|niezależnymi zmiennymi losowymi]] oraz przynajmniej jedna ma rozkład ciągły, to ich suma ma rozkład ciągły, jeśli ponadto obydwie mają rozkłady ciągłe, to gęstość ich sumy jest [[splot (matematyka)|splotem]] ich gęstości.▼
====Suma zmiennych losowych====
===Mechanika kwantowa===▼
▲
W [[Kopenhaska interpretacja mechaniki kwantowej|kopenhaskiej interpretacji]] [[mechanika kwantowa|mechaniki kwantowej]] wszelkie obserwowalne własności cząstek (na przykład ich położenia, pędy, energie) opisywane są [[funkcja falowa|funkcjami falowymi]]. Powtarzanie pomiaru danej wielkości (tzw. [[obserwabla|obserwabli]]) dla identycznych układów w identycznych [[stan kwantowy|stanach kwantowych]] może prowadzić do różnych wyników. W istocie, wynik pomiaru jest zmienną losową o określonym rozkładzie prawdopodobieństwa. W przypadku, gdy mierzoną wielkością jest położenie cząstki w stanie opisywanym funkcją falową <math>\psi (r)\,</math> gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie <math>r\,</math> dana jest równaniem:
:<math>\rho (r) \;=\; \psi (r)^{*}\cdot \psi (r) \;=\; \left| \psi (r) \right|^{2}</math>
gdzie <sup>*</sup> oznacza [[liczby zespolone|sprzężenie zespolone]].
| |||