Zmienna losowa: Różnice pomiędzy wersjami

'''Zmienna losowa''' – [[funkcja]] przypisująca [[zdarzenie elementarne|zdarzeniom elementarnym]] [[liczba|liczby]]. DokładniejIntuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania [[prawdopodobieństwo|prawdopodobieństwa]] z niewygodnej [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] do dobrze znanej [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]]. Zmienne losowe to '''[[funkcja mierzalna|funkcje mierzalne]]''' względem przestrzeni probabilistycznych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisującą wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, także można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami wziętymi z życia mogą być: stan techniczny urządzenia, czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).

'''Zmienną losową''' (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej <math>(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)</math> nazywamy dowolną rzeczywistą [[funkcja mierzalna|funkcję mierzalną]] <math>\xi \colon \Omega \to \mathbb{R}</math>, tzn. funkcję <math>\xi</math> spełniającą warunek

: <math>\xi^{-1}(B)\in \mathcal{F}</math> dla każdego [[zbiór borelowski|zbioru borelowskiego]] <math>B\subseteq \mathbb{R}</math>.

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. <math>X, Y, Z</math> lub liter greckich <math>\xi, \eta, </math>..., odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

* Niech dane będą: <math>\Omega = [0, 1], </math> wraz[[Przestrzeń zmierzalna|σ-ciało]] określoną<math> \mathcal F </math> zbiorów borelowskich przedziału <math> [0, 1] </math> oraz określona na niejnim [[miara Lebesgue'a|miarą Lebesgue'a]] <math> P </math>. Każda [[funkcja ciągła]] z <math> \xi : \Omega \to \mathbb R</math> jest zmienną losową.