Łańcuch (teoria mnogości): Różnice pomiędzy wersjami

m
drobne techniczne
m (WP:SK, drobne techniczne)
m (drobne techniczne)
* Zauważmy, że każdy zbiór jednoelementowy jest łańcuchem (i jednocześnie jest też [[antyłańcuch]]em).
* Rozważmy płaszczyznę <math>\mathbb{R}^2</math> z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez
: <math>\langle x_1,y_1\rangle \leq_0leqslant_0\langle x_2,y_2\rangle</math> wtedy i tylko wtedy gdy <math>x_1\leqleqslant x_2</math> i <math>y_1\leqleqslant y_2</math>.
: (Powyżej, <math>\leqleqslant </math> jest standardową nierównością na [[liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]] <math>\mathbb{R}</math>.) Wówczas każda [[prosta]] pionowa i każda prosta o [[Znak liczby|nieujemnym]] współczynniku kierunkowym jest łańcuchem w <math>(\mathbb{R}^2,\leq_0leqslant_0)</math>. Także wykres dowolnej [[funkcja rosnąca|funkcji rosnącej]] jest łańcuchem w tym porządku.
* Rozważmy zbiór <math>{}^{\omega>}2</math> wszystkich skończonych ciągów zero-jedynkowych uporządkowany (częściowo) przez relację <math>\trianglelefteq</math> wydłużania ciągów. Dla ciągu nieskończonego <math>\eta:\omega\longrightarrow 2</math> połóżmy <math>A_\eta=\{\eta\upharpoonright n:n\in\omega\}</math>. Wówczas <math>A_\eta</math> jest łańcuchem w <math>({}^{\omega>}2,\trianglelefteq)</math>. Ponadto każdy łańcuch w tym porządku częściowym jest zawarty w zbiorze <math>A_\eta</math> dla pewnego <math>\eta:\omega\longrightarrow 2</math>.
* ''Twierdzenie Dilwortha'' mówi że częściowy porządek <math>(P, \sqsubseteq)</math> jest [[Suma zbiorów|sumą]] <math>n</math> łańcuchów (<math>n\in \mathbb{N}</math>) wtedy i tylko wtedy gdy <math>P</math> nie zawiera <math>n+1</math> elementowych antyłańcuchów (w sensie teorii posetów).