Wzór Eulera-Maclaurina: Różnice pomiędzy wersjami

W [[matematyka | matematyce]], '''wzór Eulera-Maclaurina''' daje silne połączenie między liczbami całkowitymi (zobacz [[rachunek różniczkowy i całkowy]]) a sumami. Może być użyty do przybliżania liczb całkowitych przez skończone sumy lub odwrotnie; do oszacowywania skończonych sum i nieskończonych serii liczbami całkowitymi i operacjami rachunku różniczkowego. Wzór został odkryty niezależnie przez [[Leonhard Euler | Leonharda Eulera]] i [[Colin Maclaurin | Colina Maclaurina]] około [[1735]]. Euler potrzebował go do obliczenia wolno zbiegających nieskończonych serii podczas gdy Maclaurin wykorzystał go do obliczania liczb całkowitych.

Jeśli ''n'' jest [[liczba naturalna |liczbą naturalną]] i ''f''(''x'') jest gładką (tzn. wystarczająco często [[funkcja różniczkowalna|różniczkowalną]]) [[Funkcja (matematyka)|funkcją]] zdefiniowaną dla wszystkich [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] ''x'' pomiędzy 0 i ''n'', wtedy całka

: <math>I=\int\limits_0^n f(x)\,dx</math>

: <math>

: <math>S=-\frac{f\left( 0\right) +f\left( n\right) }{2}+\sum_{k=0}^{n}f\left(

: <math>S=\frac{f\left( 0\right) +f\left( n\right) }{2}+\sum_{k=1}^{n-1}f\left(

: <math>S-I=\sum_{k=1}^p\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\right)+R</math>

: <math>\left|R\right|\leqleqslant\frac{2}{(2\pi)^{2p}}\int\limits_0^n\left|f^{(2p+1)}(x)\right|\,dx.</math>

: <math>\sum_{i=0}^n i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.</math>

== Linki zewnętrzne ==