Wielomiany trygonometryczne: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
Nie podano opisu zmian |
m kat., WP:SK |
||
Linia 2:
== Definicja ==
Rzeczywistym wielomianem trygonometrycznym stopnia <math>n</math> nazywamy każdą funkcję postaci:
: <math>t_n(x)=\sum_{j=0}^n(\alpha_j\cos jx+\beta_j\sin jx)</math>, gdzie <math>n\in\mathbb{N}\cup\{0\}, \alpha_j, \beta_j\in\mathbb{R}, j\in\{0,\ldots,n\}</math>.<br />
Analogicznie, zespolonym wielomianem trygonometrycznym stopnia <math>n</math> nazywamy każdą funkcję postaci:
: <math>T_n(x)=\sum_{j=0}^n(\alpha_j\cos jx+\mathrm{i}\beta_j\sin jx)</math>, gdzie <math>n\in\mathbb{N}\cup\{0\}, \alpha_j, \beta_j\in\mathbb{R}, j\in\{0,\ldots,n\}</math>.<br />
== Uwagi ==
Jeśli <math>\bigwedge_{j\in\{0,\ldots,n\}}</math><math>\big[\alpha_j=\beta_j\big]</math>, to na mocy [[wzór Eulera|wzoru Eulera]]:
: <math>T_n(x)=\sum_{j=0}^n\alpha_je^{\mathrm{i}jx}</math>
oraz : <math>T_{2n}(x) = e^{\mathrm{i}nx} t_n(x) \,\!</math> == Zastosowanie ==
O wielomianach trygonometrycznych mówi twierdzenie:<br />
Każda funkcja <math>f\colon \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}</math> ciągła i okresowa, o okresie <math>2\pi</math>, jest jednostajną granicą pewnego ciągu wielomianów trygonometrycznych.
== Zobacz też ==
* [[wielomiany Bernsteina]],
* [[wielomiany Tonellego]],
* [[twierdzenie Stone'a-Weierstrassa]],
[[Kategoria:Wielomiany ortogonalne]]
[[bg:Тригонометричен полином]]
| |||