Grupa Prüfera: Różnice pomiędzy wersjami

:<math>\mathbb{Z}(p^\infty)=\left\{\tfrac{\exp(2\pi i n)}{p^m}\colon\, n\in \mathbb{N}^+,\,m\in \mathbb{ZN}^+\right\}.\;</math>

* Z drugiej strony, [[podgrupa Sylowa|''p''-podgrupa Sylowa]] grupy <math>\mathbb{Q}/\mathbb{Z}</math>, składająca się ze wszystkich elementów których rząd jest potęgą liczby ''p'' jest ''p''-grupaągrupą Prüfera

:<math>\mathbb{Z}(p^\infty) = \mathbb{Z}[\tfrac{1/}{p}]/\mathbb{Z}.</math>

:<math>\mathbb{Z}(p^\infty) = \langle x_1 , x_2 , ... | p\ldots\colon\, x_1 = 0, p x_2 = x_1 , p x_3 = x_2 , ...\rangle.</math>

*''p''-grupa Prüfera jest jedyną z dokładnością do izomorfizmu nieskończoną [[p-grupa|''p''-grupą]], która jest grupą lokalnie cykliczna, to znaczy każda podgrupa generowana przez skończony podzbiór tej grupy jest [[grupa cykliczna|cykliczna]]. ''p''-grupa ''G'' jest ''p''-grupą Prüfera wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej właściwa podgrupa jest cykliczna oraz dla każdej liczby naturalnej ''k'' istnieje w ''G'' podgrupa rzędu ''p^k''.

* ''p''-grupa Prüfera, jako <math>\mathbb{Z}</math>-[[moduł (algebramatematyka)|moduł]] jest [[moduł artinowski|modułem artinowskim]], ale nie jest [[moduł noetherowski|modułem noetherowskim]], podobnie można wykazać, że jest [[grupa artinowska|grupą artinowską]], ale nie [[grupa noetherowska|noetherowską]] (podgrupy grupy abelowej są abelowe oraz są jednocześnie pod-<math>\mathbb{Z}</math>-modułami tej grupy traktowanej jako <math>\mathbb{Z}</math>-moduł. Można posłużyć się tym faktem aby podać kontrprzykład na to, że nie każdy moduł artinowski jest równocześnie noetherowski - mimo, że każdy [[pierścień artinowski]] jest jednak [[Pierścień noetherowski|noetherowski]]).