Wersja z 20:09, 9 mar 2010 edytuj Loxley (dyskusja \| edycje) Redaktorzy 9014 edycji doprwacować ← poprzednia edycja		Wersja z 13:22, 27 mar 2010 edytuj anuluj edycję MastiBot (dyskusja \| edycje) Boty 3 465 844 edycje m Wspomagane przez robota ujednoznacznienie: Przegląd zagadnień z zakresu matematyki - Zmieniono link(i) Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki; zmiany kosmetyczne następna edycja →
Linia 4: == Reprezentacje == W przestrzeni egzystują różne obiekty geometryczne. Aby opisać obiekty geometryczne, wprowadzamy '''[[układ współrzędnych]]''', pozwalający na wyrażenie '''składowych''' obiektów geometrycznych. Układ współrzędnych można wybrać na wiele sposobów. Składowe obiektów geometrycznych są inne w każdym układzie współrzędnych. Linia 10: Aby przeprowadzić jeden układ współrzędnych w drugi, podaje się '''transformację''' zamieniającą '''wektory bazowe''' pierwszego układu współrzędnych na wektory bazowe drugiego. Transformacje układów tworzą '''[[grupa (matematyka)\|grupę]]'''. '''Reprezentacja''' grupy, jest to taki zbiór [[macierz~~\|macierzy~~]]y, że każdemu elementowi grupy odpowiada jakaś macierz i elementowi będącemu wynikiem '''działania grupowego''' elementów <math>\; A \;</math> i <math>\; B \;</math> odpowiada macierz będąca iloczynem macierzy odpowiadającej elementowi <math>\; A \;</math> i macierzy odpowiadającej elementowi <math>\; B \;</math>. Reprezentacja jest więc '''[[homomorfizm~~\|homomorfizmem~~]]em''' grupy w algebrę macierzy z mnożeniem. Macierz odpowiadającą elementowi <math>\; A \;</math> oznaczać będziemy symbolem <math>\; D(A) \;</math>. Gwiazdka oznacza działanie grupowe. : <math>\; D(A * B) = D(A) D(B) \;</math> Linia 18: Termin ''macierz'' może się czasem odnosić do trywialnej macierzy 1x1, którą można utożsamić ze zwykłą liczbą. Czasami zamiast mnożenia macierzy bierze się jakieś inne proste działanie na macierzach. Przykładowo, może to być 'mnożenie odwrotne' (jak wiadomo, mnożenie macierzy nie jest przemienne). Działanie to musi być łączne. W takim wypadku reprezentacja jest więc [[antyhomomorfizm~~\|antyhomomorfizmem~~]]em grupy w algebrę macierzy. : <math>\; D(A * B) = D(B) D(A) \;</math> == Przykłady reprezentacji == Najprostszą, trywialną reprezentacją każdej grupy jest przyporządkowanie każdemu elementowi liczby 1. Linia 44: == Reprezentacja spinorowa == Każdy obiekt geometryczny przekształca się względem jakiejś reprezentacji. Więcej na ten temat w artykule '''[[Tensor]]'''. Linia 66: : <math>\; D(O) = D(R(u) R(v)) = S(u) S(v) \;</math> Tak zdefiniowany zbiór macierzy <math>\; D \;</math> spełnia wszystkie założenia bycia reprezentacją. W szczególności w każdej reprezentacji przekształceniu tożsamościowemu powinna odpowiadać macierz jednostkowa. Każde odbicie złożone samo ze sobą daje przekształcenie tożsamościowe. Na mocy równania <math>\; S(v) S(v) = \|v\|^{2} I \;</math> macierz odpowiadająca przekształceniu tożsamościowemu jest macierzą jednostkową. == Spinory == Dla każdej reprezentacji istnieją obiekty geometryczne, których składowe przekształcają się zgodnie z nią. Dla reprezentacji spinorowej obiekty te nazywamy ''spinorami''. '''Spinor''' jest to wektor kolumnowy o składowych zespolonych taki, że jeżeli jeden układ współrzędnych przekształca się w drugi pod wpływem transformacji <math>\; T \;</math>, to składowe spinora w tych układach wiąże wzór: : <math>\; \begin{bmatrix} f' \\ g' \end{bmatrix} = D(T) \begin{bmatrix} f \\ g \end{bmatrix} \;</math> Linia 82: == Zastosowania == Spinory pojawiają się w [[fizyka\|fizyce]], w szczególności w [[mechanika kwantowa\|mechanice kwantowej]], np. [[Funkcja falowa\|funkcje falowe]] cząstek o ułamkowym [[spin (fizyka)\|spinie]] jak [[elektron]] lub inne [[fermion~~\|fermiony~~]]y, są opisywane właśnie za pomocą spinorów. Powoduje to pojawienie się szeregu doniosłych i często sprzecznych z intuicją efektów jak np. [[Reguła Pauliego\|zakaz Pauliego]]. Spinory istnieją w przestrzeniach o dowolnej liczbie wymiarów, jednak dla każdej liczby wymiarów trzeba osobno definiować macierze reprezentacji spinorowej. Jest to sytuacja inna niż w przypadku zwykłych tensorów, gdzie istnieje jeden ogólny schemat definiowania macierzy reprezentacji dla dowolnej liczby wymiarów. Reprezentacja spinorowa ma wyraźnie inną postać w przestrzeniach o parzystej liczbie wymiarów w porównaniu do przestrzeni nieparzyście wymiarowych. Jedną z konsekwencji takiego stanu rzeczy jest fakt, że w pewnych konkretnych przestrzeniach spinory wykazują pewne dodatkowe własności, których nie mają w innej liczbie wymiarów. Kiedy odkryto teorię strun, zauważono, że jest matematycznie spójna tylko w przestrzeni dziesięcio- lub dwudziestosześciowymiarowej. Jest to właśnie odbicie szczególnych własności spinorów w tych przestrzeniach. == Zobacz też == * [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki\|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]]. [[Kategoria:Algebra]]

Spinor: Różnice pomiędzy wersjami