Grupa wolna: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
→Definicja formalna: lit. |
m Wspomagane przez robota ujednoznacznienie: Przegląd zagadnień z zakresu matematyki - Zmieniono link(i) Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki; zmiany kosmetyczne |
||
Linia 15:
* Każda grupa wolna o randze większej od 1 ma nieskończenie wiele układów wolnych generatorów.
* Każda grupa <math>G\,</math> jest [[obraz (matematyka)|obrazem]] ustalonego homomorfizmu <math>h\,</math> pewnej grupy wolnej <math>F\,</math>.
* Jeżeli <math>H = \ker h\,</math>, to obraz układu wolnych generatorów grupy <math>F\,</math> tworzy układ generatorów grupy <math>G\,</math>.
* '''Układem relacji''' dla tych generatorów nazywamy [[układ równań]] taki, że <math>f(k) = e\,</math>, gdzie <math>k \in H\,</math> są generatorami <math>H\,</math> (<math>e\,</math> oznacza [[element neutralny]] grupy). Wskazanie układu generatorów i układu relacji jednoznacznie wyznacza grupę <math>G\,</math>.
* Grupa wolna o randze większej od 1 nie jest [[grupa przemienna|abelowa]].
== Przykłady ==
* Grupa liczb całkowitych z dodawaniem jest jest grupą wolną rangi 1. Jej układem wolnych generatorów jest {1} (lub {-1}).
* Rozpatrzmy wszystkie skończone napisy składające się z liter <math>l, p, L, P \,</math> w których nie występują pary <math>[l,p], [p,l], [L.P], [P,L]\;.</math> Działaniem niech będzie [[konkatenacja]] napisów z ewentualnym usunięciem zakazanych par czyli np.:
** <math>llPl*Pl=llPlPl\;</math>
** <math>llPl*lPl=llPllPl\;</math>
** <math>llPp*lP=llPP\;</math>
** <math>llPl*pL=ll\;</math>
** <math>llPl*pLpp=\varnothing</math> czyli ciąg pusty.
:tak określona struktura jest grupą wolną. Układem wolnych generatorów jest np.: <math>\{l ,L\}</math> . Elementem odwrotnym do <math>l</math> jast <math>p</math>; odwrotnym do <math>L</math> jest <math>P</math>. Elementem odwrotnym do danego ciągu jest ciąg napisany w odwrotnej kolejności z zamienionymi parami liter <math>\langle l,\ L\rangle</math> oraz <math>\langle p,\ P\rangle</math>. Elementem neutralnym - ciąg pusty.
<!-- łatwiej (i konkretniej) byłoby wyrazić to w języku pętli, język już istnieje: zapraszam -->
* [[Grupa podstawowa]] [[1-punktowa suma|1-punktowej sumy]] topologicznej dwóch okręgów (''ósemka'') jest grupą wolną o dwóch generatorach.
== Zobacz też ==
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
* [[grupa rozwiązalna]],
* [[homomorfizm]],
| |||