Ciąg uogólniony: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Usunięta treść Dodana treść
m drobne techniczne |
m Wspomagane przez robota ujednoznacznienie: Przegląd zagadnień z zakresu matematyki - Zmieniono link(i) Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki; zmiany kosmetyczne |
||
Linia 1:
'''Ciąg uogólniony''' - w [[teoria mnogości|teorii mnogości]], rozszerzenie pojęcia [[ciąg (matematyka)|ciągu]] na odwzorowania [[zbiór skierowany|zbiorów skierowanych]] w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie [[granica ciągu|zbieżności]] czy [[punkt skupienia|punktów skupienia]]. W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym.
== Definicja ==
Niech <math>X</math> będzie [[zbiór pusty|niepustym]] zbiorem, <math>( \Sigma, \leqslant )</math> zbiorem skierowanym. '''Ciągiem uogólnionym''' nazywamy zbiór <math>S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}</math><ref>Czasem piszemy także <math>S=(x_\sigma)_{\sigma\in\Sigma}</math>.</ref>, gdzie <math>x_\sigma</math> jest elementem zbioru <math>X</math> przyporządkowanym elementowi <math>\sigma\in\Sigma</math>.
=== Punkty skupienia i granica ===
Niech <math>X</math> będzie [[przestrzeń topologiczna|przestrzenią topologiczną]]. Punkt <math>x\in X</math> nazywamy '''punktem skupienia''' ciągu uogólnionego <math>S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}</math>, jeśli
:<math>\bigwedge_{U\subseteq X}\bigwedge_{\sigma_0\in \Sigma}\bigvee_{\sigma\geqslant \sigma_0}x_\sigma\in U</math>
Linia 14:
Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu <math>S</math> oznaczamy <math>\lim S</math> albo <math>\lim_{\sigma\in\Sigma}S</math>.
=== Subtelniejsze ciągi uogólnione ===
Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia [[podciąg (matematyka)|podciągu]].
Ciąg uogólniony <math>S=\{x_{\sigma^\prime}\colon\; \sigma^\prime\in\Sigma^\prime\}</math> nazywamy '''subtelniejszym''' od ciągu <math>S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}</math>, jeśli istnieje funkcja <math>\varphi\colon \Sigma^\prime\to\Sigma</math>, spełniająca warunki:
# <math>\bigwedge_{\sigma_0\in\Sigma}\bigvee_{\sigma_0^\prime\in\Sigma^\prime}\left[ \sigma^\prime\geqslant \sigma_0^\prime \Rightarrow \varphi(\sigma^\prime)\geqslant \sigma_0\right]</math>.
# <math>\bigwedge_{\sigma^\prime\in\Sigma^\prime}x_{\varphi(\sigma^\prime)}=x_{\sigma^\prime}</math>.
== Własności ==
* Jeśli punkt <math>x</math> jest punktem skupienia ciągu uogólnionego <math>S^\prime</math> subtelniejszego od <math>S</math>, to <math>x</math> jest punktem skupienia <math>S</math>.
* Jeśli punkt <math>x</math> jest granicą ciągu uogólnionego <math>S</math>, to jest także granicą
* Jeśli punkt <math>x</math> jest punktem skupienia ciągu uogólnionego <math>S</math>, to jest granicą pewnego ciągu uogólnionego <math>S^\prime</math>, subteleniejszego od <math>S</math>.
== Literatura ==
# {{cytuj książkę |nazwisko= Engelking |imię= Ryszard |autor link= Ryszard Engelking |inni= |tytuł= Topologia Ogólna |url= |data= |rok=1976 |miesiąc= |wydawca=[[PWN]] |miejsce=Warszawa |id= |strony= |rozdział= |adres rozdziału= |cytat = }}
== Zobacz też ==
* [[Wikipedia:Skarbnica Wikipedii/Przegląd zagadnień z zakresu matematyki|przegląd zagadnień z zakresu matematyki]],
* [[domknięcie]].
{{przypisy}}
| |||