Droga (topologia): Różnice pomiędzy wersjami

'''Droga''' – w [[topologia|topologii]], [[funkcja ciągła|ciągłe]] [[funkcja (matematyka)|przekształcenie]] z [[przedział jednostkowy|przedziału jednostkowego]] w [[przestrzeń topologiczna|przestrzeń topologiczną]]. '''Pętlą''' nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy ''czasem''.

 

Niech <math>I = [0, 1] \subset \mathbb R</math> oraz niech <math>X</math> będzie przestrzenią topologiczną. '''Drogą''' nazywamy ciągłe przekształcenie <math>f\colon I \to X</math>.

 

Zbiór pętli w <math>X</math> zaczepionych w <math>a</math> nazywamy [[przestrzeń pętli|przestrzenią pętli]] i oznaczamy symbolem <math>\Omega(X)</math>.

 

{{main|zbiór łukowo spójny}}

Przestrzeń topologiczna, w której dla jej dowolnych dwóch punktów istnieje droga je łącząca nazywa się '''łukowo spójną'''. Każda przestrzeń <math>X</math> może zostać rozbita na zbiór łukowo spójnych składowych, który oznaczany jest często <math>\pi_0(X)</math>.

 

Należy pamiętać, że droga nie jest tym samym co jej [[obraz (matematyka)|obraz]]. Oznacza to, że nie jest tylko podzbiorem <math>X</math>, który ''wygląda'' jak [[krzywa]], ale przede wszystkim odwzorowaniem z daną parametryzacją. Przykładem mogą być odwzorowania <math>f(x) = x</math> oraz <math>g(x) = x^2</math> będące dwiema różnymi drogami z <math>0</math> do <math>1</math> na prostej rzeczywistej.

 

Można także badać drogi i pętli w [[przestrzeń topologiczna z wyróżnionym punktem|przestrzeniach topologicznych z wyróżnionym punktem]], które są ważnymi obiektami w [[teoria homotopii|teorii homotopii]]. Niech <math>(X, a)</math> będzie taką przestrzenią, '''drogą''' w <math>(X, a)</math> nazywa się te drogi w <math>X</math>, których punktem początkowym jest <math>a</math>. Analogicznie '''pętlą''' w <math>(X, a)</math> nazywa się pętle zaczepione w <math>a</math>.

 

{{main|homotopia}}

Homotopia dróg i pętli jest niezwykle ważnym środkiem badawczym w dziale [[topologia algebraiczna|topologii algebraicznej]] nazywanym [[teoria homotopii|teorią homotopii]]. Homotopia między drogami jest uściśleniem intuicji ciągłej ''deformacji'' drogi w [[jednostka|jednostce]] ''czasu'' (którą jest [[przedział jednostkowy]] <math>I</math>) przy zachowaniu jej punktów końcowych.

Homotopia między pętlami zaczepionymi we wspólnym punkcie pozwala przyporządkować [[przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]] z wyróżnionym punktem [[grupa podstawowa|grupę podstawową]]. Okazuje się, że jeżeli wspomniana przestrzeń jest [[Zbiór łukowo spójny|łukowo spójna]], to wybór punktu zaczepienia jest nieistotny.

 

'''Homotopią dróg''' z <math>a</math> do <math>b</math> w <math>X</math> nazywamy rodzinę dróg <math>f_t\colon I \to X</math> taką, że

* <math>f_t(0) = a</math> i <math>f_t(1) = b</math> są stałe,

* odwzorowanie <math>F\colon I \times I \to X</math> dane wzorem <math>F(s, t) = f_t(s)</math> jest ciągłe.

 

'''Homotopią pętli''' <math>\alpha, \beta \in \Omega(X, a)</math> nazywamy homotopię <math>H\colon I \times I \to X</math> łączącą <math>\alpha</math> oraz <math>\beta</math> spełniającą warunek <math>H(0, t) = H(1, t) = a</math> dla <math>t \in I</math>.

 

Dla powyższej homotopii każda droga <math>\alpha_t(s) = H(s, t)</math> jest pętlą w <math>X</math> zaczepioną w <math>a</math>. Należy pamiętać, że na homotopię pętli nakłada się dodatkowy warunek: mianowicie aby punkt zaczepienia <math>a</math> nie ulegał przesunięciu.

 

Drogi i pętle między którymi zachodzi homotopia, nazywa się '''homotopijnymi'''. Podobnie jak homotopia dowolnych przekształceń, homotopie dróg w <math>\Omega(X)</math> i pętli w <math>\Omega(X, a)</math> są [[relacja równoważności|relacjami równoważności]]. [[Klasa abstrakcji|Klasa równoważności]] drogi <math>f</math> tej relacji nazywana jest '''klasą homotopii''' i oznaczana często <math>[f]</math>.

 

{{main|złożenie funkcji}}

Załóżmy, że <math>f</math> jest drogą z <math>x</math> do <math>y</math>, zaś <math>g</math> z <math>y</math> do <math>z</math>. '''Złożeniem dróg''' <math>f</math> i <math>g</math> nazywamy drogę <math>f \circ g</math> zdefiniowaną jako uprzednie przejście po <math>f</math>, a następnie po <math>g</math>:

Jeżeli rozważymy wszystkie pętle zaczepione w <math>a</math>, to złożenie dróg staje się [[działanie dwuargumentowe|działaniem dwuargumentowym]]. Złożenie dróg nie jest [[łączność (matematyka)|łączne]] z powodu różnic w parametryzacjach, jednakże jest łączne na poziomie homotopii, tj. <math>[(f \circ g) \circ h] = [f \circ (g \circ h)]</math>.

 

{{main|grupa podstawowa}}

Składanie dróg określa na zbiorze klas homotopii pętli zaczepionych we wspólnym punkcie <math>a</math> strukturę [[grupa (matematyka)|grupy]], nazywanej '''grupą podstawową''' i oznaczaną <math>\pi_1(X, a)</math>.

 

* S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, ''Topologia I wykłady i zadania'', skrypt 2005

 

 

[[Kategoria:Topologia algebraiczna]]

[[it:Arco (topologia)]]

[[he:מסילה (מתמטיקה)]]

[[pt:Caminho (topologia)]]

[[zh:道路 (拓扑学)]]